вещественная форма ряда Фурье. Как получить?

[motoden]

Доброго времени суток, уважаемые товарищи!
Синусно-косинусная форма ряда Фурье выглядит таким образом:

$$s(t)=\frac {a_0} 2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\omega_1 t) + b_k\sin(k\omega_1 t))$$

Вещественная его форма выглядит так:

$$s(t)=\frac {a_0} 2 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_1 t + \varphi_k)$$

Вопрос: как получить вещественную форму ряда Фурье из синусно-косинусной формы?
Вот моя попытка:

$$s(t)=\frac {a_0} 2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\omega_1 t) + b_k\sin(k\omega_1 t)) = \frac {a_0} 2 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\frac {e^{-ik\omega_1 t}+e^{ik\omega_1 t}} 2 + b_k\frac {e^{-ik\omega_1 t}-e^{ik\omega_1 t}} {2i}) = ...$$

Дальше не идёт...

[ewert]

motoden в сообщении #283547 писал(а):

Дальше не идёт...

Естественно, потому что не в ту сторону. Надо просто $A_k=\sqrt{a_k^2+b_r^2}$ и фи-катое как какое-нибудь арк-что-то, с соотв. оговорками.

(и, кстати, нелепо называть именно эту форму вещественной; предыдущая -- не менее вещественна)

[motoden]

Обозначение "вещественной" формой той формы, которая сейчас обозначена у меня, я нашел в книжке Сергиенко "цифровая обработка сигнала" (2-е издание).
Тогда так:
$A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}$;
$\varphi_k=-\arctg(\frac {b_k} {a_k})$;

$s(t)=\frac {a_0} {2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_1t+\varphi_k)=\frac {a_0} {2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sqrt{a_k^2+b_k^2}(\cos(k\omega_1t-\arctg(\frac {b_k} {a_k})))=\frac {a_0} {2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sqrt{a_k^2+b_k^2}(\cos(k\omega_1t)\cos(\arctg(\frac {b_k} {a_k}))+\sin(k\omega_1t)\sin(\arctg(\frac {b_k} {a_k}))).$
Теперь, если учесть, что:
$\cos(\arctg(x))=\frac {1} {\sqrt{1+x^2}}$;
$\sin(\arctg(x))=\frac {x} {\sqrt{1+x^2}}$,
то получим искомый вид ряда Фурье. Правильно?
Новый вопрос: какие оговорки следует сделать для $\varphi_k$?

[ewert]

Если $a_k<0$, то к $\varphi_k$ надо ещё прибавить $\pi$.

[Cars]

motoden в сообщении #283547 писал(а):

Доброго времени суток, уважаемые товарищи!
Синусно-косинусная форма ряда Фурье выглядит таким образом:

$$s(t)=\frac {a_0} 2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\omega_1 t) + b_k\sin(k\omega_1 t))\eqno(1)$$

Вещественная его форма выглядит так:

$$s(t)=\frac {a_0} 2 + \sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_1 t + \varphi_k)\eqno(2)$$

...решил преобразовать синусно-косинусную форму ряда Фурье в "вещественную". Вот что получилось:

в сумме соотношения (1) умножаем и делим оба слагаемых на

$$A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}$$

т.е. (1) приводим к виду

$$s(t)=\frac {a_0}2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\left(\cos(k\omega_1 t)\frac{a _k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}+\sin(k\omega_1 t)\frac{b _k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}\right)$$

Учитывая, что

$$\frac{a _k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}=\cos{\varphi_k}$$

$$\frac{b _k}{\sqrt{a _k^2+b_k^2}}=\sin{\varphi_k}$$

получаем:

$$s(t)=\frac {a_0}2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\left(\cos(k\omega_1 t)\cos{\varphi_k}+\sin(k\omega_1 t)\sin{\varphi_k}\right)$$

Теперь используя известную формулу тригонометрического преобразования

$$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$$

наконец получаем искомую вещественную форму:

$$s(t)= \frac{a_0}2+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos(k\omega_1t-\varphi_k)\eqno(3)$$

Вопрос: почему (3) отличается от (2) знаком перед $\varphi_k$? Где у меня ошибка?

[svv]

У Вас именно в вычислениях нет ошибок, но дело вот в чем.
Все хотят получить плюс перед $\varphi$ в формуле, чтобы оно имело смысл "начальной фазы" (той фазы, которая при $t=0$). И настолько хотят, что ради этого идут на добавление минуса в определение:

$$\frac{a _k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}=\cos(-\varphi_k)$$

$$\frac{b _k}{\sqrt{a_k^2+b_k^2}}=\sin(-\varphi_k)$$

Если бы Вы так ввели $\varphi$ (обычно так и делают), то и знак совпал бы.

См., например, выше, в сообщении motoden есть такая формула: $\varphi_k=-\arctg(\frac {b_k} {a_k})$.

Кстати, Ваше определение тоже имеет смысл -- при таком определении $\varphi$ естественно назвать "сдвиг фазы". Несложно понять, что сдвигу вправо на $\frac{\pi} 6$ соответствует аргумент $\omega t-\frac{\pi} 6$.
Мне так ($\omega t-\varphi$) даже больше нравится, но народ привык к "начальной фазе".

[Cars]

svv, спасибо за разъяснения. У меня еще такой вопрос:

если начальная фаза $\varphi_k$ k-ой гармоники конкретного сигнала в "вещественной форме" представления (2) имеет значение между 0 и 90 градусов, т.е.

$$\varphi_k\in\left(0;\frac{\pi}2\right)$$

то коэффициенты $a_k$ и $b_k$ ряда Фурье (1) будут оба положительными?

[svv]

Пусть для простоты имеется только одна гармоника, её частота $\omega$, амплитуда $1$. Тогда сигнал $u(t)=\cos(\omega t+\varphi)$.
Рассматриваем 4 случая.

1) $\varphi=+\frac {\pi} 4$.
$\cos(\omega t+\frac {\pi} 4)=\cos \frac {\pi} 4\cos \omega t - \sin \frac {\pi} 4\sin \omega t=+\frac {\sqrt 2}2 \cos \omega t - \frac {\sqrt 2}2 \sin \omega t$
$a>0, b<0$

2) $\varphi=+\frac {3\pi} 4$
$\cos(\omega t+\frac {3\pi} 4)=\cos \frac {3\pi} 4\cos \omega t - \sin \frac {3\pi} 4\sin \omega t=-\frac {\sqrt 2}2 \cos \omega t - \frac {\sqrt 2}2 \sin \omega t$
$a<0, b<0$

3) $\varphi=-\frac {3\pi} 4$
$\cos(\omega t-\frac {3\pi} 4)=\cos \frac {3\pi} 4\cos \omega t + \sin \frac {3\pi} 4\sin \omega t=-\frac {\sqrt 2}2 \cos \omega t + \frac {\sqrt 2}2 \sin \omega t$
$a<0, b>0$

4) $\varphi=-\frac {\pi} 4$
$\cos(\omega t-\frac {\pi} 4)=\cos \frac {\pi} 4\cos \omega t + \sin \frac {\pi} 4\sin \omega t=+\frac {\sqrt 2}2 \cos \omega t + \frac {\sqrt 2}2 \sin \omega t$
$a>0, b>0$

Ваш случай 1), при этом $a>0, b<0$, это согласуется и с формулой $\varphi_k=-\arctg(\frac {b_k} {a_k})$.

[Kallikanzarid]

Имеем $A_k \cos(2 \pi k) + B_k \sin(2 \pi k) = C_k e^{2 \pi i k}$, где $C_k \in \mathbb{C}$. Но также $C_k e^{2 \pi i k} = |C_k| e^{i(2 \pi k + \operatorname{arg} C_k)}$. Отсюда легко получите, что вам нужно :)