2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение15.03.2012, 23:18 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Изображение

Сигнал $s(t)$ длительностью $T_c$ с энергией $E=\int\limits_0^{T_c}s^2(t)dt$ излучается передающим устройством. При распространении отражается от зеркала, двигающегося со скоростью $v$ вдоль оси $x$ и поступает на вход приёмного устройства в виде $s(t-\tau)$, где $\tau=\frac {2x} {c}$ - задержка сигнала, $c$ - скорость распространения сигнала. Принимая во внимание закон движения отражателя $x=x_0\pm vt$ для задержки сигнала запишем $$\tau=2\frac {x_0\pm vt} {c}=\frac {2x_0}{c}\pm2\frac{v}{c}t.$$ Для сигнала на входе приёмника, получим: $$s(t-\tau)=s\left(\left(1\pm2\frac{v}{c}\right)t-\frac {2x_0}{c}\right)=s(a(t-t_0)),$$ где $a=1\pm2\frac{v}{c}$ - параметр масштаба, $t_0=\frac {2x_0}{c\pm2v}$ - параметр запаздывания.

Полученное выражение для сигнала показывает, что имеет место изменение длительности сигнала: $$T'_c=\frac {T_c}{a}=\frac {T_c}{1\pm2\frac{v}{c}}.$$ Тогда энергия принятого сигнала: $$E'=\int\limits_{t_0}^{t_0+T'_c}s(a(t-t_0))dt=\int\limits_{0}^{T'_c}s(at)dt=\frac E {{1\pm2\frac{v}{c}}}$$ отличается от энергии переданного сигнала.

В частном случае, когда рассматривается узкополосный сигнал $$s(t)=v(t)\cos(\omega_0 t+\varphi(t)),$$ где $\omega_0$ - частота несущего колебания, $v(t)$ - огибающая, $\varphi(t)$ - мновенная фаза, получим $$s(t-\tau)=v(a(t-t_0))\cos(\omega_0 a(t-t_0)+\varphi(t-t_0))=v(a(t-t_0))\cos(\omega'_0 t+\varphi(t-t_0)+\varphi_0),$$ где $$\omega'_0=1\pm2\frac{v}{c},$$ $$\varphi_0=-\omega'_0t_0.$$ Имеет место сдвиг несущей частоты, что всегда и предполагается в эффекте Доплера. Энергии переданного и принятого узкополосных синалов определяются энергией их огибающих $$E=\frac 1 2 \int\limits_0^{T_c} v^2(t)dt$$ $$E'=\frac 1 2 \int\limits_0^{T'_c} v^2(at)dt=\frac E {{1\pm2\frac{v}{c}}}$$ и будут отличатся ввиду изменения длительности.

1. Есть ли ошибки в рассуждениях?

2. Изменяется ли энергия сигнала при доплеровском преобразовании?

3. Где об этом можно почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
С энергией всё зависит от того, какой конкретно Доплер мы имеем в виду. Звук продольный, поперечный, электромагнитные волны, в нерелятивистской, в релятивистской области, какие-то другие волны и т. п.

В общем случае, надо иметь в виду:

I. Величины, которые подчиняются волновому уравнению, и в которых распространяются волны, сами по себе не всегда скалярны, и неизменны в разных системах отсчёта. Поэтому они тоже преобразуются, могут как увеличиваться, так и уменьшаться. По хорошему, это тоже надо бы включать в доплеровский сдвиг, как и аберрацию, но не принято.

II. Если волна распространяется в какой-то среде, то движущийся приёмник (или источник, или они оба) движутся не только относительно волны, но и относительно среды. То есть могут черпать энергию просто от взаимодействия со средой, и отделить от этого энергию волны бывает затруднительно или невозможно.

И вот если сложить вместе сам доплеровский сдвиг частоты, и I и II, то тогда баланс энергии сойдётся. Если вы до него ещё доберётесь, а не обнаружите, что он зависит от чего-то незаданного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Конкретно в вашем случае сигнал подвергается Доплеру два раза: для падающей и для отражённой волны. Энергия возрастает, если зеркало надвигается, и убывает, если зеркало убегает. Энергия берётся у зеркала, которое тормозится при приближении, и разгоняется при удалении, ровно на величину давления света.

Из указанных мной эффектов, имеет место I - электромагнитная волна при сближении источника и приёмника не только увеличивает частоту, но и меняется по амплитуде, тоже в большую сторону. Это легко понять: пусть источник испустил 5 гребней волн. Приёмник их принял за меньшее время, то есть для приёмника те же 5 гребней волн занимают меньшее пространство. Плотность энергии увеличилась, величины напряжённостей электрического и магнитного поля выросли. Эффект II отсутствует - считаем, что наши волны распространяются не в среде, а в вакууме (в среде с показателем преломления возникают сложности с дефиницией энергии и импульса волны).

Насколько вырастет амплитуда волн? Можно напрямую использовать преобразования Лоренца для электромагнитного поля, Ландау, Лифшиц т. 2 "Теория поля", (24.2-3):
$$E_y'=\dfrac{E_y+(V/c)H_z}{\sqrt{1-V^2/c^2}},$$ где мы переходим из нештрихованной системы координат в штрихованную, $V$ - скорость сближения (то есть штрихованная СК движется со скоростью $-V$ относительно нештрихованной), ось $x$ направлена по направлению распространения волны, волна плоскополяризованная, такая, что её вектор $\mathbf{E}$ направлен по оси $y.$ Тогда $H_z=E_y,$ и мы имеем:
$$E_y'=\dfrac{1+V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}E_y.$$ Поток энергии $\mathbf{S}=\tfrac{c}{4\pi}\mathbf{[EH]}$ увеличится, соответственно, как
$$S'=\biggl(\!\dfrac{1+V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}\!\mathclose{\biggr)\!}^2S=\dfrac{1+V/c}{1-V/c}S.$$ Полная энергия находится как интеграл потока энергии за время, а время (длительность волнового пакета) сжимается с множителем
$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}\,,$$ так что полная энергия оказывается увеличенной в
$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}$$ раз. На обратном пути, от зеркала к приёмнику, произойдёт увеличение ещё во столько же раз, и в итоге энергия сигнала вырастет со множителем
$$\dfrac{1+V/c}{1-V/c}\,.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 11:25 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Munin, благодарю за труд. В балансе энергии я не сомневался. Если честно, я надеялся оставаться в классических рамках.
Munin в сообщении #548804 писал(а):
Полная энергия находится как интеграл потока энергии за время, а время (длительность волнового пакета) сжимается с множителем
$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}\,,$$
Возможно там интеграл по объёму локализации ещё? Вот это вот самое вкусное. Можно подробнее: почему так изменяется длительность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
profrotter в сообщении #548857 писал(а):
Если честно, я надеялся оставаться в классических рамках.

В классических рамках (в нерелятивистской области) мы всё равно не имеем права считать величины полей неизменными, и, соответственно, амплитуды волн. Вспомните хотя бы звуковые волны: одной из величин, испытывающих в них колебания, является скорость, а уж она-то точно не неизменна в разных системах отсчёта.

Нерелятивистские преобразования полей даны в том же Ландау-Лифшице в том же параграфе чуть дальше, например,
$$E_y'=E_y+(V/c)H_z$$ (в тех же обозначениях). Подставляя туда поле электромагнитной волны, получаем
$$E_y'=\bigl(1+(V/c)\bigr)E_y,$$ то есть эффект - первого порядка по $V/c,$ и не может быть проигнорирован в нерелятивистской области. Этот эффект можно учесть вместе с нерелятивистским доплеровским сдвигом частоты, и получить в конечном результате опять же увеличение энергии.

profrotter в сообщении #548857 писал(а):
Возможно там интеграл по объёму локализации ещё? Вот это вот самое вкусное.

Честно говоря, про объём я поленился оговаривать. Идеальная плоская волна - бюесконечна в поперечных направлениях, и поэтому имеет бесконечный объём и бесконечную энергию. Но мы можем выделить мысленно квадратный метр в плоскости $yz,$ и вычислять энергию в трубе, соответствующей этому квадратному метру. Такая труба хороша тем, что она остаётся сама собой при переходе в движущуюся систему отсчёта: по координатам $y$ и $z$ её стенки не сдвигаются, а по $x$ и $t$ она ничем не ограничена. Чтобы получить ограниченную локализацию по $x$ и $t,$ я взял пакет ограниченной длины (в ваших терминах - огибающую в виде, скажем, прямоугольника).

Но можно было бы рассматривать и бесконечную синусоидальную волну, только оговорить, что мы берём её не всю, а, скажем, 5 последовательных гребней. Но это потребовало бы проследить детально, как эти гребни в разных системах отсчёта выглядят, и вообще, являются ли они физической сущностью, независимой от системы отсчёта (ответ - являются, но это потребовало бы доказательств).

Другой вариант подхода к этому вопросу - взять волновой пакет, ограниченный не только в продольном, но и в поперечных направлениях, например, как гауссов пучок. Тогда было бы проще определение, о какой энергии и в каком объёме мы говорим, но сложнее вычисления, в частности, преобразования частоты. У такого пакета нет одной определённой частоты и волнового вектора, и потребовались бы вычисления во всех трёх пространственных координатах.

Так что я выбрал, как мне показалось, разумный компромисс.

profrotter в сообщении #548857 писал(а):
Можно подробнее: почему так изменяется длительность?

Я поленился выводить это вчера с нуля на коленке, и просто стырил формулу из английской Википедии ( http://en.wikipedia.org/wiki/Relativist ... ler_effect ). Могу расписать, но позже вечером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 21:35 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Заглядывал в справочник Ландау-Лифшица. Там нерелятивистские формулы приведены как частный случай релятивистких при малых скоростях. Кто их знает выводятся они по-другому или нет.

"Самое вкусное" я имел ввиду с изменением длительности. Именно в масштабировании времени, а не в изменении частоты вся суть эффекта Доплера. Я в импортных языках мало разбираюсь, но насколько я понял в википедии там тоже без вывода. Просто мол через лоренцев коэффициент.

Теперь к главному вопросу темы. Читал Ч.Кук, М. Бернфельд. Радиолокационные сигналы. Пер. с английского под ред. В.С. Кельзона. М.: Изд-во "Советское радио", 1971:
Изображение

Я в стартовом сообщении проделал все выкладки по их модели - никакого множителя не появилось. Ну изменилась энергия. Это не страшно - мог иметь место "отбор энергии" у отражателя и тп. Вы проделали серьёзные выкладки. У Левича тоже приведена формула для энергии в разделе по эффекту Доплера.

Получается, что заблуждаются Кук-Берфельд, когда с потолка приписывают множитель и заставляют его обеспечивать неизменность энергии сигнала? (Фактически они полагают, что вместе с изменением длительности сигнала изменяется и его амплитуда, но так, что энергия остаётся фиксированной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение16.03.2012, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
profrotter в сообщении #549091 писал(а):
Заглядывал в справочник Ландау-Лифшица. Там нерелятивистские формулы приведены как частный случай релятивистких при малых скоростях. Кто их знает выводятся они по-другому или нет.

Нет, по-другому не выводятся. Пока не было СТО, вообще никто не знал толком, как электрическое и магнитное поле выглядит в другой системе отсчёта.

А, нет, вру. Возьмём определение электрического и магнитного поля через то, как они действуют на пробный заряд (частицу, которая движется только под действием этих полей). Определение имеет вид (нерелятивистский, ЛЛ-2 (17.6)):
$$m\tfrac{d\mathbf{v}}{dt}=e\mathbf{E}+\tfrac{e}{c}\mathbf{[vH]}.$$ Теперь, переходя в другую систему отсчёта, мы можем заметить, что сила, действующая на частицу, неподвижную в новой системе отсчёта, уже другая, и приписать это изменению электрического поля в новой системе отсчёта, и аналогично найти изменение магнитного. Формулы будут в итоге ЛЛ-2 (24.4).

profrotter в сообщении #549091 писал(а):
"Самое вкусное" я имел ввиду с изменением длительности. Именно в масштабировании времени, а не в изменении частоты вся суть эффекта Доплера.

На самом деле, там равный вклад совершается и масштабированием времени, и масштабированием пространства. И вообще это в строгом смысле не масштабирование, а преобразования Лоренца, которые не действуют на время и пространство по отдельности.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):
Я в импортных языках мало разбираюсь

Печально, потому что русскоязычный интернет - преимущественно мусорка.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):
но насколько я понял в википедии там тоже без вывода. Просто мол через лоренцев коэффициент.

Нет, как раз вывод там дан, а лоренцев коэффициент - просто замена переменной, чтобы формулу записать компактней.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):
Получается, что заблуждаются Кук-Берфельд, когда с потолка приписывают множитель и заставляют его обеспечивать неизменность энергии сигнала? (Фактически они полагают, что вместе с изменением длительности сигнала изменяется и его амплитуда, но так, что энергия остаётся фиксированной).

Да, либо Кук и Берфельд, либо это огрех перевода.

Физически, увеличение энергии очевидно. Представьте себе один фотон, и его энергия, очевидно, $E=\hbar\omega.$ Когда источник излучает этот фотон, он тратит именно такую энергию. Приёмник видит увеличенную частоту, и поэтому поглощает больше энергии, $E'=\hbar\omega'.$ Это аналогично тому, как какая-нибудь частица, например, дробинка или теннисный мяч, может быть брошена нами с небольшой энергией, но для получателя, мчащегося на нас с большой скоростью, например, на поезде, будет высокоэнергетической, и может совершить большую работу.

Таким образом, и при радиолокации окончательная энергия сигнала может возрасти (или уменьшиться, если цель удаляется). Представьте себе, что вы бросаете теннисный мяч в цель, а цель - ракетка - движется на вас. Тогда можно ожидать, что мяч вернётся к вам с большей энергией. Так же происходит и с фотонами, и с радиосигналом в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение17.03.2012, 09:28 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Munin в сообщении #549136 писал(а):
На самом деле, там равный вклад совершается и масштабированием времени, и масштабированием пространства. И вообще это в строгом смысле не масштабирование, а преобразования Лоренца, которые не действуют на время и пространство по отдельности.
А не может так получится, что изменяется плотность энергии, но изменяются и длительность и импульсный объём, в результате чего энергия самого волнового пакета останется неизменной? (Изменение импульсного объёма Вы как раз опустили в самом начале.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение17.03.2012, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Не может. Всё изменяется, но в результате меняется и энергия. Я это могу сразу, без вычислений сказать, потому что это довольно общий факт СТО, но объяснение его - всё-таки "тяжёлая артиллерия".

Главный момент здесь в том, что энергия в СТО - не самостоятельная величина, а часть многокомпонентной величины - 4-вектора энергии-импульса. 4-вектор - значит, вектор, имеющий проекции на пространственные и на временную ось. Вот временн́ая компонента этого 4-вектора энергии-импульса и есть энергия. А пространственные компоненты - импульс.

Переход в новую систему отсчёта - это поворот пространства-времени так, что старая ось времени наклоняется по отношению к новой. Тогда точка, которая раньше была неподвижной - двигалась параллельно старой оси времени - в новой системе отсчёта становится движущейся, поскольку движется не параллельно новой оси времени. Заодно (не как в классической механике) старые пространственные оси тоже наклоняются по отношению к новым.

И теперь должно быть понятно, что энергия в одной системе отсчёта не будет равна энергии в другой системе отсчёта. (В классической механике это тоже имело место, для кинетической энергии, но подробно не рассматривалось. А здесь это имеет место для любого вида энергии.) Но они между собой связаны, разумеется. По формулам преобразования Лоренца (это, по сути, формулы 4-мерного поворота) для 4-вектора энергии-импульса. И если их применить к электромагнитной волне, то получится то, что я уже излагал выше: двигаясь навстречу волне, мы воспринимаем её энергию как увеличившуюся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение17.03.2012, 21:49 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Munin, договорились. :mrgreen: Пусть изменяется. Это на рассуждения Кука-Бернфельда и на мои, касаемые радиолокации, никак не повлияет. Тут важнее изменение длительности. Просто был вопрос интереса. Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера и энергия сигнала
Сообщение17.03.2012, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Длительность меняется вместе с частотой - собственно, я так понимаю, именно в этом главный посыл процитированного вами абзаца. То есть если частота повысилась, то и огибающая тоже ускорилась, и два последовательных импульса станут импульсами, идущими с меньшим промежутком.

Очень красиво это продемонстрировано в астрономии. Известно красное смещение далёких галактик. И известно, что некоторые быстротекущие процессы (например, вспышки сверхновых некоторого типа) протекают со стандартным "расписанием" по времени, скажем, дают кривую блеска по времени стандартной длительности. Так вот, наблюдение этих процессов в далёких галактиках показало, что они замедляются в той же степени, что и понижается частота света за счёт красного смещения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group