Ренормгруппа в ФТТ

[Kamaz]

Пытаюсь разобраться с применением ренормгруппы (РГ) по книге P. Kopeitz, L. Bartosch, F.Schutz Functional Renormalization Group. Как я понял, существует множество вариантов РГ. В своей книге они делают акцент на, как видно из названия, функциональной РГ, т.е. в этом варианте РГ уравнения (точные!) записываются для производящих функционалов функций Грина и массового оператора и уже потом эти уравнения решаются приближенно.
В отличие от подхода Вилсона, где РГ уравнения сразу пишутся приближенно в одно-(двух-трех...) петлевом приближении. В первой части книги разбирается подход Вилсона, собственно по нему и вопрос.

Как пример, рассматривается модель Изинга переписанная в виде функционального интеграла для статсуммы теории $\varphi^4$. Пространство импульсов рабивается на области малых больших ипульсов и по большим интегрируется в однопетлевом приближении. Это я все понял. Дальше делается некая процедура rescaling и вот она совсем не понятна. Для чего она, в чем ее смысл? Чего мы хотим ею достигнуть?

Может кто сможет объяснить ну совсем на пальцах? Или может конспект лекций попроще, где есть только главное, без лишних деталей? Книги лучше не предлагать - там много всего обычно, и трудно выделить главное.
Лекции и примеры лучше с уклоном в конденсированное состояние

[Munin]

Rescaling - это изменение масштаба (с соответствующим изменением масштабов величин других размерностей), чтобы сделать вид, что мы имеем дело с прежней решёткой, отличающейся только константой связи. В результате мы получаем уравнение, связывающее изменение константы связи, и изменение масштаба (его логарифм), и сможем продвигаться по нему в области "бесконечно больших" или "бесконечно малых" масштабов.

У меня такое ощущение, что с ренормгруппой лучше познакомиться в физике элементарных частиц, а потом уже переносить это знание на конденсированное состояние. Дело в том, что в физике элементарных частиц для вывода уравнений ренормгруппы используется изменение масштаба на малую величину, и из этого строится дифференциальное уравнение. А в случае конечной постояной решётки мы вынуждены изменять масштаб не на малую величину, а в большое число раз. Уравнение-то мы всё равно получаем, но менее очевидными рассуждениями.

[Kamaz]

Дело в том, что мне пока бы понять саму идею, для чего делается эта процедура - рескэйлинг в смысле. В этой книге, которую я указал, есть глава посвященная тому, как делается РГ в физике частиц. Но я ее пропустил . Я все это так себе предствляю (поправте, где не прав). Поскольку вблизи точки фазового перехода флуктуации не малы, нам нужно проинтегировать по ним за пределеами Гауссова приближения. Для этого мы сначала интегрируем по большим волновым векторам, потом оставшуюся область опять делим на большые и малые и снова интегрируем и т.д. Конечно, это сделать не реально, но замечательно то, что интеграл каждый раз получается одним и тем же. Тогда процедуру многократного интегрирования мы можем свести к дифф. уравнению - это и есть уравнение РГ. Так-нет?

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #547729 писал(а):

Поскольку вблизи точки фазового перехода флуктуации не малы, нам нужно проинтегировать по ним за пределеами Гауссова приближения. Для этого мы сначала интегрируем по большим волновым векторам, потом оставшуюся область опять делим на большые и малые и снова интегрируем и т.д. Конечно, это сделать не реально, но замечательно то, что интеграл каждый раз получается одним и тем же. Тогда процедуру многократного интегрирования мы можем свести к дифф. уравнению - это и есть уравнение РГ. Так-нет?

Так. Вся эта последовательность интегрирований сводится к изменению параметров лагранжиана. Более того, в простых случаях можно все свести к одному единственному параметру: заряду. Далее важно, чтобы была неподвижная точка (т.е. предел этой последовательности интегрирований). В принципе она может быть гауссовой (нулевой заряд), может быть и негауссовой (ненулевой заряд). А если уйдет в бесконечность -- схема лопается.

[Munin]

Kamaz
Вы рассматриваете РГ сразу в применении к конкретной задаче - фазовому переходу. По-моему, надо сначала разобраться, что это такое само по себе. А то от всей ренормгруппы вы оставляете только один интеграл, да и тот одинаковый на разных масштабах. А это уже конечная цель, отталкиваясь от неё, понять смысл ренормгруппы будет сложновато.

Ренормгруппа - это когда мы не просто делим область на большие и малые, скажем, импульсы, а считаем, что у нас вся теория как-то привязана к масштабу, на котором мы находимся. Все размерные величины мы записываем как безразмерные, плюс одна размерная величина, которая характеризует наш масштаб (в ФЭЧ это традиционно масса $\mu,$ а в ФТТ не знаю что, пусть будет "постоянная решётки" $a$ - некая величина размерности длины). И, наша теория имеет некоторый набор констант, например, заряды, массы, константы взаимодействия, магнитные моменты - мало ли что. Для начала можно считать, что только одну константу - заряд. А кроме конкретных значений констант, вся остальная структура теории на разных масштабах одинакова. Тогда мы можем записать все эти наши константы как функции масштаба, $g(\mu),$ и начать их искать. Для этого строится уравнение ренормгруппы, которое в ФЭЧ - дифференциальное уравнение, $\tfrac{d\,g(\mu)}{d\ln\mu}=\ldots$ (пишут обычно сразу $\mu\tfrac{d}{d\mu}g(\mu)=\ldots$). И решают его, и исследуют получившуюся траекторию $g(\mu),$ а в случае нескольких констант - целую карту потока в пространстве $\vec{g}.$ И на основании этих траекторий и потоков делают выводы о поведении теории в различных пределах.

А вы заходите к этой картине со стороны случая, когда есть одна-единственная величина - значение интеграла, - и всё его поведение в зависимости от масштаба сводится к тому, что этот параметр константа. По-моему, так трудно будет что-то понять.

[Kamaz]

Alex-Yu, под зарядом понимается константа связи? Вы пользуетесь терминологией КТП, что для меня несколько не привычно.
И правильно ли я понимаю, что вот это масштабирование - рескейлинг - пространства (конфигурационного или реального) и нужно, чтобы переходить к новому и новому слою волновых векторов в одном и том же интеграле?

-- Пн мар 12, 2012 21:40:34 --

Munin, понимате в чем дело, в книжке такой подход - от малого к большому. А вот с высоты "птичьего" полета разговора нет как такового (или я его не увидел). поэтому я и просил посоветовать может быть мне книжку попроще, видимо эта слишком сложна для начала.
В ФТТ этот единственный параемтр называется корреляционной длиной - единственная величина размерности длины. Она фигурирует в корреляторе параметра порядка.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #547739 писал(а):

Ренормгруппа - это когда мы не просто делим область на большие и малые, скажем, импульсы, а считаем, что у нас вся теория как-то привязана к масштабу, на котором мы находимся

Есть две формулировки "вильсоновская" и так называемая "квантовополевая". То, что было выше, это вильсоновская формулировка. А Вы про квантовополевую. Кстати, доказательства полной эквивалентности я не видел. Но в частных задачах получается один ответ.

Но вообще-то по мне эта наука довольно мутная (в отличие от РГ чисто в КТП). РГ-функции можно считать только пертурбативно и ни откуда не следует, что такие пертурбативные функции дают правильный предел. И тут начинаются трюки с разложением по размерности... А вот нету неподвижной точки в трехмерии, схема лопается. А если сделать разложение по размерности из четырехмерия, то появляется. Я жизнь убил на то, чтобы это понять. И так и не понял до конца, слишком много произвольных утверждений.

-- Пн мар 12, 2012 21:42:21 --

Kamaz в сообщении #547741 писал(а):

Alex-Yu, под зарядом понимается константа связи? Вы пользуетесь терминологией КТП, что для меня несколько не привычно.
И правильно ли я понимаю, что вот это масштабирование - рескейлинг - пространства (конфигурационного или реального) и нужно, чтобы переходить к новому и новому слою волновых векторов в одном и том же интеграле?

Да. Может даже лучше сказать константа ангармонизма.

-- Пн мар 12, 2012 21:47:57 --

Kamaz в сообщении #547741 писал(а):

поэтому я и просил посоветовать может быть мне книжку попроще, в

Кто ж его знает какая попроще... Можно попробовать почитать Покровского и Паташинского (вильсоновская формулировка). Можно Васильева (квантовополевая).

[Kamaz]

Обе книжки у меня есть пытаюсь читать параллельно
кстати, насчет эпсилон-разложения. Мы можем переходить к пределу двумерной системы из четыре минус эпсилон? Дело в том, что в ФТТ есть такая область - переход металл-диэлектрик в системах с беспорядком (примесями) там уравнения РГ пишутся на проводимость (в вашей терминологии заряд - проводимость). И люди спокойно вильсоновскую формулировку применяют для двумерной системы, хотя в книгах я не нашел ответа - можно ли переходить к пределу эпсилон=2.

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #547751 писал(а):

кстати, насчет эпсилон-разложения. Мы можем переходить к пределу двумерной системы из четыре минус эпсилон?

На сколько я понимаю, тут все действия методом тыка. Попробуем и посмотрим что получится. Потом сравним с экспериментом, с численным моделированием...

Но вообще-то, как я уже говорил, ясности в этой науке для меня нет. Если сможете понять -- раскажите. Может и я пойму Например для меня есть такая загадка: вообще-то в ФТТ теория изначально обрезанная (есть максимальный к). И интересует зависимость от константы ангармонизма в этой обрезанной теории. Действительно, переопределив поле $\phi \to \phi \sqrt{T}$ мы из гиббсовской экспоненты темературу везде убираем и загоняем ее в ангармонизм. Но перенормировка в том и заключается, чтобы уйти от затравочных параметров. Но при фазовых переходах нас изначально интересует зависимость именно от температуры, которую мы загнали в затравочный (!!!) заряд обрезанной теории. При чем тут перенормированный заряд? Как так может быть?

-- Пн мар 12, 2012 22:19:26 --

Kamaz в сообщении #547751 писал(а):

в системах с беспорядком (примесями)

Еще и реплики, да? Помнится была работа (в конце 70-х, не помню кого, Андерсон? Киркпатрик?...), где показано, что пертурбативно репличный формализм правильный. Но я не видел того, чтобы было доказано, что непертурбативно тоже правильно.

А вообще мне очень понравились слова Доценко в обзоре конца 90-х (УФН). Писал, писал, про нарушение репличной симметрии. Целых два больших обзора. А в конце написал: все это хорошо, но это бы в нормальную науку еще как-нибудь превратить. Хоть честно

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #547745 писал(а):

Есть две формулировки "вильсоновская" и так называемая "квантовополевая". То, что было выше, это вильсоновская формулировка.

Расскажите на пальцах про "вильсоновскую". Или, где в книжках по КТП даётся её доходчивое изложение?

Kamaz в сообщении #547741 писал(а):

Alex-Yu, под зарядом понимается константа связи? Вы пользуетесь терминологией КТП, что для меня несколько не привычно.

В принципе, заряды бывают разные, но обычно зарядом называется константа связи. Но константа связи - это просто наиболее очевидное применение РГ в КТП, поскольку обычно перенормировка в КТП формулируется как бегущая константа связи (в КЭД есть две константы, константа связи и масса электрона, и "пустить бежать" можно любую из них, так что это традиционное соглашение). Если в теории есть ворох других констант или вычисляемых величин, РГ можно рассматривать применительно к любым из них.

Alex-Yu в сообщении #547757 писал(а):

Но при фазовых переходах нас изначально интересует зависимость именно от температуры, которую мы загнали в заряд обрезанной теории. Как так может быть?

Ну, значит, будем изучать фазовый переход в зависимости от заряда, делов-то :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #547763 писал(а):

Ну, значит, будем изучать фазовый переход в зависимости от заряда, делов-то

Так заряд-то затравочный (в обрезанной теории). Причем тут перенормированный заряд?

-- Пн мар 12, 2012 22:29:27 --

Munin в сообщении #547763 писал(а):

Или, где в книжках по КТП даётся её доходчивое изложение?

Где-то видел. Кажется у Вайнберга в первом томе. Сейчас посмотрю. Нет, во втором томе. Во всяком случае упоминается.

[Kamaz]

Alex-Yu в сообщении #547757 писал(а):

Еще и реплики, да?

насколько я знаю в ФТТ реплики уже мало используют. Где-то в 80-х годах К.Ефетов из инст. теор. физики им. Ландау предложил суперсимметричный подход к примесным делам. У него книжка есть в сети доступна. Этот подход свободен от недостатков метода реплик. Реплики часто давали не верный ответ, а иногда верный и никто не знал, как же на самом деле

[espe]

Kamaz в сообщении #547583 писал(а):

Или может конспект лекций попроще, где есть только главное, без лишних деталей?

Посмотрите книгу Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и эпсилон-разложение. Там сначала во введении рассказывается идея.

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #547766 писал(а):

Где-то в 80-х годах К.Ефетов из инст. теор. физики им. Ландау предложил суперсимметричный подход к примесным делам. У него книжка есть в сети доступна

Спасибо, не знал. Сильно отличается от того, что Паризи писал?

[Kamaz]

Alex-Yu, к сожалению "Паризи" мне ничего не говорит.

-- Пн мар 12, 2012 22:40:36 --

espe в сообщении #547769 писал(а):

Посмотрите книгу Вильсон К., Когут Дж.

спасибо, обязательно гляну. В УФН вроде, есть обзор Вильсона об истории создания им РГ. Очень интересно пишет - советую.