2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольные неравенства
Сообщение04.03.2012, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $[a,b]$. Кроме этого, известно, что функция $f(x)$ - невозрастающая на этом отрезке, $f(b) \geqslant 0$, и для любого $c \in [a,b]$: $$\int\limits_a^c f(x) dx \leqslant \int\limits_a^c g(x) dx.$$Докажите, что для любого $c \in [a,b]$: $$\int\limits_a^c f^2(x) dx \leqslant \int\limits_a^c g^2(x) dx.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение04.03.2012, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Также докажите, что если, помимо этого, второе неравенство обращается в равенство при $c=b$, то $f(x) \equiv g(x)$ на всём отрезке $[a,b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение06.03.2012, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Тем, кто боится (или не знает) такого понятия, как интеграл, а также всем остальным, предлагаю взамен доказать следующий, не менее интересный, дискретный аналог вышеуказанных утверждений.

Числа $x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant 0$, а также $y_1, y_2, \dots, y_n$ удовлетворяют неравенствам:

$\begin{array}{ll}
x_1 & \leqslant y_1 \\
x_1+x_2 & \leqslant y_1+y_2 \\
x_1+x_2+x_3 & \leqslant y_1+y_2+y_3 \\
& \cdots \\
x_1+x_2+\ldots+x_n & \leqslant y_1+y_2+\ldots+y_n
\end{array}$

Докажите, что справедливо также неравенство:

$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \leqslant y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2$

и если оно обращается в равенство, то $x_i=y_i$ для любого $i=\overline {1,n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение07.03.2012, 01:06 
Аватара пользователя


25/03/08
241
А это точно не частный случай неравенства Караматы? (Тут объяснение приводится - http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400nomir.pdf)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение07.03.2012, 06:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Nilenbert в сообщении #545933 писал(а):
А это точно не частный случай неравенства Караматы? (Тут объяснение приводится - http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400nomir.pdf)
Очень похоже, но разница есть:
1) Здесь ничего не говорится об упорядоченности набора $y=\{y_1,y_2,\dots,y_n\}$.
2) Равенство $x_1+x_2+\dots+x_n=y_1+y_2+\dots+y_n$ также не предполагается.
3) Самый интересный момент - доказательство равенства наборов в случае $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение08.03.2012, 13:16 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Предcтавим $g(x)=f(x)+\xi (x)$,тогда из условия следует,что $\int \limits _a^c\xi(x)dx\geqslant 0\qquad (1)$.Очевидно,что если $\xi (x)\geqslant 0$ для всех $x$,то нужное неравенство,выполняется.Рассмотрим поэтому случай,когда $\xi  (x)$ меняет знак в некоторых точках отрезка [a,b].$i-$ю точку,в которой $\xi $ меняет знак с - на +,обозначим $c_i^+,i-$ю точку,в которой знак $\xi $,меняется с + на -,обозначим $c_i^-$.Точка $a=c_1^+$.
Покажем,что $I_i=\int \limits ^{c_i^+}_{c_1^+}f(x)\xi (x)dx\geqslant 0\qquad (2)$.

Т.к. функция $f$ не возрастает,то $I_1=\int \limits _{c_1^+}^{c_1^-}f(x)\xi (x)dx + \int \limits _{c_1^-}^{c_2^+}f(x)\xi (x)dx\geqslant f(c_1^-)\int \limits _{c_1^+}^{c_2^+}\xi (x)dx\geqslant 0,$(согласно (1)).Пусть уже доказано,что $I_k\geqslant f(c_k^-)\int \limits _{c_1^+}^{c_{k+1}^+}\xi (x)dx\geqslant 0$,тогда и $$I_{k+1}\geqslant I_k+f(c_{k+1}^-)\int \limits _{c_{k+1}^+}^{c_{k+2}^+}\xi (x)dx\geqslant f(c_{k+1}^-)\int \limits _{c_1^+}^{c_{k+2}}\xi (x)dx\geqslant 0$$

Таким образом $\int \limits _{c_1^+}^{c_i^+}g^2(x)dx=\int \limits _{c_1^+}^{c_i^+}[f^2(x)+2f(x)\xi (x)+\xi ^2(x)]dx\geqslant \int \limits _{c_1^+}^{c_i^+}f^2(x)dx$,т.к. по доказанному интеграл от $f\xi $ неотрицателен.Равенство интегралов возможно только если $\xi (x)\equiv 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение08.03.2012, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
mihiv в сообщении #546262 писал(а):
$i-$ю точку,в которой $\xi $ меняет знак с - на +,обозначим $c_i^+,i-$ю точку,в которой знак $\xi $,меняется с + на -,обозначим $c_i^-$.Точка $a=c_1^+$.
Но ведь возможен случай, когда $\xi$ меняет знак в бесконечном числе точек. Что-то типа $\xi(x)=x \sin\left(\frac 1 x \right)$ в окрестности нуля. Как тогда нумеровать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение09.03.2012, 10:31 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Dave в сообщении #546289 писал(а):
Но ведь возможен случай, когда $\xi$ меняет знак в бесконечном числе точек. Что-то типа $\xi(x)=x \sin\left(\frac 1 x \right)$ в окрестности нуля. Как тогда нумеровать?

Да,получается,что доказано только для функций $g,f$ таких,что функция $R(x)=g(x)-f(x)$ имеет лишь конечное число нулей на отрезке $[a,b]$.
Но зато для конечных сумм доказательство полностью годится.Так же представляем $y_i=x_i+\xi _i$,из условия следует,что $\sum \limits _{i=1}^l\xi _i\geqslant 0,l=1,\dots ,n;\sum y_i^2=\sum x_i^2+2x_i\xi _i+\xi _i^2$.Доказываем,что $\sum \limits _{i=1}^lx_i\xi _i\geqslant 0$ для всех $l$ и т.д.
Мне кажется,можно это обобщить и на ряды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные неравенства
Сообщение10.03.2012, 20:13 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Dave в сообщении #545942 писал(а):
Nilenbert в сообщении #545933 писал(а):
А это точно не частный случай неравенства Караматы? (Тут объяснение приводится - http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400nomir.pdf)

2) Равенство $x_1+x_2+\dots+x_n=y_1+y_2+\dots+y_n$ также не предполагается.

Достаточно рассмотреть случай $x_n>0.$
(Если несколько последних иксов равны 0, то отбросив их и столько же последних игреков уменьшим сумму $y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2$ и не изменим сумму $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2.$ И, т.к. для "урезанных" сумм неравенство выполнено, то оно выполнено и для исходных сумм.)
Пусть $d=y_1+y_2+\dots+y_n-(x_1+x_2+\dots+x_n).$ Возьмём такое $k,$ что $x_n>\frac dk,$ и дополним наборы числами $x_{n+1}=x_{n+2}=\dots=x_{n+k}=x_n$ и $y_{n+1}=y_{n+2}=\dots=y_{n+k}=x_n-\frac dk.$
Заметим, что условия $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_{n+k} \ge 0$; и
$\begin{array}{ll}
x_1 & \leqslant y_1 \\
x_1+x_2 & \leqslant y_1+y_2 \\
x_1+x_2+x_3 & \leqslant y_1+y_2+y_3 \\
& \cdots \\
x_1+x_2+\ldots+x_{n+k-1} & \leqslant y_1+y_2+\ldots+y_{n+k-1}
\end{array}$
выполнены и для нового неравенства, и кроме того
$x_1+x_2+\dots+x_{n+k}=y_1+y_2+\dots+y_{n+k}.$
И, поскольку $x_{n+1}^2+x_{n+2}^2+\dots+x_{n+k}^2>y_{n+1}^2+y_{n+2}^2+\dots+y_{n+k}^2,$ то если неравенство выполнено для нового набора, то оно выполнено и для исходного.

Dave в сообщении #545942 писал(а):
1) Здесь ничего не говорится об упорядоченности набора $y=\{y_1,y_2,\dots,y_n\}$.

Если набор $\{y_1,y_2,\dots,y_{n+k}\}$ упорядочить по убыванию, то условия
$\begin{array}{ll}
x_1 & \leqslant y_1 \\
x_1+x_2 & \leqslant y_1+y_2 \\
x_1+x_2+x_3 & \leqslant y_1+y_2+y_3 \\
& \cdots \\
x_1+x_2+\ldots+x_{n+k} & \leqslant y_1+y_2+\ldots+y_{n+k}
\end{array}$
снова будут выполняться. Поэтому достаточно доказать утверждение для упорядоченных наборов.

Dave в сообщении #545942 писал(а):
3) Самый интересный момент - доказательство равенства наборов в случае $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2$.

Заметим, что если наборы $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ и $\{y_1, y_2,\dots,y_n\}$ не совпадают, то набор $\{y_1,y_2,\dots,y_{n+k}\}$ строго мажорирует (т.е. мажорирует и не совпадает с ним) набор $\{x_1,x_2,\dots,x_{n+k}\}.$ И, поскольку функция $x^2$ строго выпуклая, то выполнено строгое неравенство $y_1^2+y_2^2+\dots+y_{n+k}^2>x_1^2+x_2^2+\dots+x_{n+k}^2.$ А значит и строгое неравенство $y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2>x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group