Подстановка в интегралах

[Verbery]

Подскажите подстановку
$\int \frac {x+1}{x \sqrt {x-2}}$

$\int \frac {dx}{1+ \sqrt x}$

$\int \frac {dx}{1+\sqrt[3] {x+1}}$

$\int \frac {dx}{\sqrt {ax+b+m}}$

Заранее благодарен

[ewert]

Корень равен. А вообще-то полезно читать теорию.

[Verbery]

В 3-ем примере делаю замену: $t=\sqrt[3]{x+1}$ Далее:

$\int \frac{3t^2dt}{1+t}=3\int \frac {t^2-1}{t+1-1}dt=3\int \frac {t^2}{t}dt-3\int \frac{1}{t}dt=3\frac{t^2}{2}-3\ln|t|+C $...
Верно идёт решение?

[bot]

Вы считаете, что при вычитании 1 из числителя и из знаменателя дробь не меняется?

[Verbery]

Каждому свойственно ошибаться

[svv]

$\frac{t^2}{1+t}=\frac{t^2-1+1}{1+t}=\frac{t^2-1}{1+t}+\frac{1}{1+t}=\frac{(t-1)(t+1)}{1+t}+\frac{1}{1+t}=t-1+\frac{1}{1+t}$

[Verbery]

А в 4-ом подстановку верно делаю?
$t= \sqrt {ax+b+m}$
$x= \frac {t^2-b-m}{a}$
$dx=\frac{2tdt}{a}$
Далее получается:
...$= \int \frac {2tdt}{at}=\frac{2t}{a}=$...

[ewert]

В 4-м подстановка гораздо проще: новая переменная -- это просто подкоренное выражение.

Но это если условие верно записано, что сильно вряд ли: выражений типа $b+m$ в учебных задачах не бывает.

[Praded]

Судя по всему, в 4-ом не $\sqrt {ax+b+m}$, а $\sqrt {ax+b}+m$.

[Verbery]

Нет, написано именно так. Решаю задачник Бермана Г.Н
И ответ тоже не сходится

[bot]

Verbery в сообщении #546794 писал(а):

Решаю задачник Бермана Г.Н

Издание 18-е, стереотипное
1878. ${\int \frac{dx}{\sqrt{ax+b}+m}}$