2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 09:28 
Аватара пользователя


22/09/08
174
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_·_·_·
Ранее уже сталкивался с этим "парадоксом".
В книге Титчмарша "Теория Дзета-функции Римана" очень доступно рассмотрен вопрос о её аналитическом продолжении.
Несколькими эквивалетными способами $\zeta (s)$ можно определить для всех $s \neq 1$
и получить частные значения, например $\zeta(-1)=-1/12$.

Мне всегда казалось, что это значение не имеет никакого отношения к сумме ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$,
который представляет Дзета-функцию при $Re s>1$. Между тем, всё оказалось не так просто.
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization
http://arxiv.org/pdf/hep-th/9308028v1.pdf
Мне, как человеку с физическим складом ума, это не понятно.
Можно ли хоть как-то наглядно осмыслить такой "результат" суммирования?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 09:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Об обобщенном суммировании (в общем + метод средних Чезаро + метод Абеля + еще много всего) можно прочесть в Фихтенгольце во 2-м томе. Довольно просто и понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 10:38 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Спасибо, прочитал. Ну, что касается знакопеременных рядов,
то это как раз математикам надо доказать, что $1-1+1-1+...=1/2$, простым рабочим это и так ясно :lol:

А вот для $1+2+3+4+...$, похоже, ни один из классических
методов не даёт даже символически конечной суммы. Только через Дзета-функцию, что для меня уж слишком символически...

-- Вт мар 06, 2012 11:56:01 --

Вот здесь гораздо теплее:
http://math.stackexchange.com/questions ... 9811#39811

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 10:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Прошу прощенья, я глупость написал.
Действительно этот ряд по Абелю не суммируется! :shock: Пойду сам почитаю...

upd: верно ли, что если ряд суммируем по Абелю, то он суммируем с помощью дзета-функции, причем к тому же значению или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 13:23 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Lesobrod в сообщении #545738 писал(а):
А вот для $1+2+3+4+...$, похоже, ни один из классических методов не даёт даже символически конечной суммы. Только через Дзета-функцию.

Никаким регулярным линейным транслятивным методом этот ряд не может быть просуммирован.

Предположим, что этот ряд суммируется к некоторой сумме $S.$
Вследствие транслятивности
$$(1+2+3+4+5+6+\dots) = (0+1+2+3+4+5+\dots) = (0+0+1+2+3+4+\dots).$$
Вследствие линейности
$$0 = S-2S+S = (1+2+3+4+5+6\dots)-2(0+1+2+3+4+5\dots)+(0+0+1+2+3+4+\dots)=$$
$$=(1-2\cdot0+0)+(2-2\cdot1+0)+(3-2\cdot2+1)+(4-2\cdot3+2)+(5-2\cdot4+3)+(6-2\cdot5+4)+\dots=1+0+0+0+0+0+\dots$$
Вследствие регулярности
$$1+0+0+0+0+0+\dots=1.$$
Таким образом
$$0=1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 13:42 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Sonic86 в сообщении #545741 писал(а):
верно ли, что если ряд суммируем по Абелю, то он суммируем с помощью дзета-функции, причем к тому же значению или нет?

О, это по-моему в конце Титчмарша есть, еще не дошёл...
А вообще осознал вот такую триаду:
Вот здесь
http://mathoverflow.net/questions/64898 ... trong-is-t
по ходу доказывается, что для ряда, определяющего дзета-функцию, первый и третий методы равносильны везде, кроме 1.
Причём метод Рамануджана даёт и значение в 1 (гармонический ряд), равное $\gamma$.
И вот вижу отличный ответ hippie. Получается, что
я классическими называл регулярные линейные транслятивные методы.

Итак, доказано, что при $s=-1$ остаются также только первый и третий, значения которых совпадают и дают $-1/12$

-- Вт мар 06, 2012 14:48:52 --

Остались два вопроса.
1. Что "классические" методы говорят о гармоническом ряде?
2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами,
и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 18:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Lesobrod в сообщении #545796 писал(а):
2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами,
и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?
Я сильно не думал, но тут получается, что доказательство hippie применимо к любым последовательностям, удовлетворяющим некоторому линейному однородному линейному уравнению (здесь $a_n=n$ удовлетворяет $\Delta ^2 a_n =0$).

А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.
Я пока понял, что есть последовательности, не суммируемые дзета-функцией и по Абелю, суммируемые только одним методом. Хочу подобрать последовательность, суммируемую обеими способами, но торможу.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 18:34 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Lesobrod в сообщении #545796 писал(а):
2. Правильно ли я понял, что доказательство hippie применимо к любым рядам с монотонно возрастающими членами, и соотв. РЛТ-методами они не суммируемы?

Нет!
Насколько я знаю, существуют РЛТ методы, которыми суммируется, например, ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}2^k=-1.$ (В крайнем случае такой метод можно создать искусственно, специально для суммирования этого ряда :-) . При этом его сумма будет равна $-1.$)

О гармоническом ряде точно сказать не могу. Но интуитивное ощущение такое, что этот ряд может быть просуммирован некоторыми методами, причём разные методы могут приводить к разным значениям суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 18:39 
Аватара пользователя


22/09/08
174
Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):
А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.

Эээ не уверен ..Более того, см. стр.414, раздел 425, п.4.
Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.
Я не утверждаю, что доказательство hippie не верно, но, действительно, "транслятивность" надо проверить!

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 18:55 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):
Я сильно не думал, но тут получается, что доказательство hippie применимо к любым последовательностям, удовлетворяющим некоторому линейному однородному линейному уравнению (здесь $a_n=n$ удовлетворяет $\Delta ^2 a_n =0$).

Вы абсолютно правы! Главное условие здесь — некоторая линейная комбинация исходного ряда и его сдвигов, с нулевой суммой коэффициентов, — сходящаяся последовательность с ненулевой суммой. Других примеров заведомо несуммируемых (никаким РЛТ методом) рядов я не знаю.

Sonic86 в сообщении #545854 писал(а):
А в Фихтенгольце транслятивность есть? Я ее не вижу что-то.

Термин "транслятивность" я взял из "Математической Энциклопедии" (т.5, ст.417). (Именно по "МЭ" я знакомился с методами суммирования расходящихся рядов, поэтому и терминологию использую соответствующую.)
Транслятивность метода означает, что ряд $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\dots$ суммируем данным методом к сумме $S$ в том и только том случае, если ряд $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+\dots$ суммируем тем же методом к сумме $S+a_0.$

-- 06.03.2012, 18:14 --

В случае бесконечного в обе стороны ряда транслятивность означает, что $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_k \equiv \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_{k+1}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 19:20 
Аватара пользователя


22/09/08
174
hippie в сообщении #545862 писал(а):
О гармоническом ряде точно сказать не могу. Но интуитивное ощущение такое, что этот ряд может быть просуммирован некоторыми методами, причём разные методы могут приводить к разным значениям суммы.

Да, возможно. Тем более, если степени двойки как-то суммируются!
Но еще раз хочу обратить внимание на ссылку на mathoverflow,
и продублировать
$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-z}=\zeta(z)-\frac1{z-1}(\mathfrak{R}),\quad z\ne1. $$ Если доказательство не верно, надо его опровергнуть.
Думаю, автор будет не против :twisted:
(Да, ну и конечно, надо еще использовать асимптотику
$$\zeta(s)=\frac{1}{s-1} +\gamma + \mathit{O}(\left\vert s-1\right\vert)$$
(16) со страницы 23 Титчмарша).
Но я очень уважаю Рамануджана, (а предлагается прямое следование его методу).
Так что $\gamma$ как сумма гармонического ряда выглядит очень привлекательно)))

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 19:41 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Lesobrod в сообщении #545865 писал(а):
Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.
hippie в сообщении #545870 писал(а):
Транслятивность метода означает, что ряд $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\dots$ суммируем данным методом к сумме $S$ в том и только том случае, если ряд $a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+\dots$ суммируем тем же методом к сумме $S+a_0.$
Спасибо, буду знать.
С другой стороны как бы логично выглядит :roll: Например, методы Чезаро и Абеля - транслятивные.

Lesobrod в сообщении #545865 писал(а):
Эээ не уверен ..Более того, см. стр.414, раздел 425, п.4.
Нельзя произвольно добавлять нули при обобщённом суммировании.
А тут не произвольно, тут добавляется конечное число слагаемых строго слева.

hippie в сообщении #545870 писал(а):
Главное условие здесь — некоторая линейная комбинация исходного ряда и его сдвигов, с нулевой суммой коэффициентов, — сходящаяся последовательность с ненулевой суммой.
Еще, кажется, надо добавить условие, что разностное уравнение имеет перед $\Delta ^0 a_n$ нулевой коэффициент (иначе мы так находим сумму ряда - именно так получается с $a_n = (-1)^n$), а получаемый сходящийся ряд имеет ненулевую сумму (иначе просто получим $0=0$ при попытке вывести противоречие).

-- Вт мар 06, 2012 16:49:12 --

Lesobrod в сообщении #545874 писал(а):
Но еще раз хочу обратить внимание на ссылку на mathoverflow,
и продублировать
$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-z}=\zeta(z)-\frac1{z-1}(\mathfrak{R}),\quad z\ne1. $$ Если доказательство не верно, надо его опровергнуть.
Я там что-то эту формулу не вижу :-( А вообще тут слева стоит $\zeta (z)-1$ :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: 1+2+3+...=-1/12
Сообщение06.03.2012, 20:10 
Аватара пользователя


22/09/08
174
http://mathoverflow.net/questions/64898 ... trong-is-t
В самом низу, крупным шрифтом, типа наиболее авторитетный ответ.
А вот с нижней границей суммирования, правда, чего-то непонятно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group