2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по теории групп (Zn)
Сообщение19.12.2005, 21:33 


19/12/05
1
Помогите пожалуйста решить:
$\mathbb{Z}_n$-кольцо. Доказать: $\mathbb{Z}_n^*$ - циклическая мультипликативная группа кольца $\mathbb{Z}_n$.

Нигде не могу найти решения :(

 Профиль  
                  
 
 Это не так
Сообщение20.12.2005, 03:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Например, ${\mathbb Z}^*_8 = <-1>_2\times<3>_2$.

Вообще, если $n=p_1^{n_1}\ldots p_k^{n_k}$, где $p_i$ --- простые, то, по китайской теореме об остатках,
$${\mathbb Z}_n^*\cong {\mathbb Z}_{p_1^{n_1}}^*\times\ldots\times {\mathbb Z}_{p_k^{n_k}}^*$$.
Остается разобраться с группами вида ${\mathbb Z}_{p^n}^*$. Если $p > 2$, то
${\mathbb Z}_{p^n}^*$ --- циклическая группа порядка $(p-1)p^{n-1}$.
Для $p =2$ имеем
${\mathbb Z}^*_2  = <1>_1$, ${\mathbb Z}^*_4  = <-1>_2$ и ${\mathbb Z}^*_{2^n}  = <-1>_2\times<3>_{2^{n-2}}$ при $n\geqslant 3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.12.2005, 09:15 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Что такое "мультипликативная группа кольца"? Есть понятие "мультипликативная группа поля". А кольцо $\mathbb{Z}_n$ ( если это кольцо вычетов по модулю $n$ c их сложением и умножением по этому модулю) будет полем $\Leftrightarrow$ $n=p$-простое число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2005, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5486
Новосибирск
Что такое "мультипликативная группа кольца"?
Не просто кольца, а ассоциативного кольца с нейтральным по умножению элементом (а в данном случае ещё и коммутативного). Это группа всех обратимых по умножению элементов этого кольца. В случае кольца ${\mathbb Z}_n$ его группа обратимых элементов ${\mathbb Z}_n^*$ будет циклической в случаях (и только в этих случаях):
$n=2, 4, p^k$ и $2p^k$, где $k>0$, а простое $p>2$.
См. выше пост lofar'а.
Доказательство можно найти в любом учебнике по теории чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group