2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 15:05 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Всем привет. Проверьте решение вот такой задачки:
С неподвижной горки высотой $h$ и углом наклона $\alpha$,в основании которой находится неподвижный заряд $q$, скатывается маленький, имеющий такой же заряд, шарик массой $ m$...Найдите скорость шарика в конце скатывания,пренебрегая его размерами и силой трения.
Изображение
Итак по ЗСЭ: $mgh+W_{{1}}=\frac {m{v}^{2}}{2}+W_{{2}}$. Где $W_{{1}}={\frac {k{q}^{2}}{h}}$ - энергия электростатического поля в верхней части горки, а $W_{{2}}={\frac {k{q}^{2}\tg \left( \alpha \right) }{h}}$ - в её низу.Тогда для $v$ получаем: $v=\sqrt {2\,gh+2\,{\frac {k{q}^{2} \left( 1- {\it tg} \left( \alpha\right)  \right) }{mh}}}$.
Насчёт ответа не уверен. Думаю попробовать более сложным путём - через работу силы Кулона.Что-то типа:
Изображение
По теореме синусов имеем ${\frac {{\it dx}}{d\varphi }}={\frac {l}{\cos \left( \alpha \right) }}$ для $ \varphi    \rightarrow 0$ или же ${\frac {{\it x}}{sin(\varphi) }}={\frac {l}{\cos \left( \alpha \right) }}$.Используя это и теорему косинусов получаем , что $l_{{1}}={\frac {h\cos \left( \alpha \right) }{\cos \left( \alpha-
\varphi  \right) }}$ или $l_{{2}}={\frac {h\cos \left( \alpha \right) }{\cos \left( \alpha+
\varphi  \right) }}$, однако так как $\varphi \in [0;\pi/2]$ исключим второй ответ.Полная работа силы Кулона во время скатывания шарика равна
$$A=\int\limits_{0}^{h/\sin \left( \alpha \right)}} \frac{k{q}^{2}}{{l}^{2}}} dx=\int\limits_{0}^{\alpha} \frac{-k{q}^{2} }{{l \cos(\alpha)}} } d\varphi  +  \int\limits_{\alpha}^{\pi/2} \frac{k{q}^{2} }{{l \cos(\alpha)}} } d\varphi = \int\limits_{0}^{\alpha} \frac{-k{q}^{2} \cos (\alpha-\varphi) }{{h \cos^{2}(\alpha)}} } d\varphi  +  \int\limits_{\alpha}^{\pi/2} \frac{k{q}^{2} \cos (\alpha-\varphi) }{{h \cos^{2}(\alpha)}}}d\varphi=$$
$$={\frac {k{q}^{2} \left(  \cos \left( \alpha\right)  \right-\sin \left( \alpha \right))}{h\cos^{2} \left( \alpha \right) }}$$

Не знаю правильно ли я перешёл от $dx$ к $d\varphi$ и правильно ли вообще я нашёл работу.И того в итоге получаем $ v=\sqrt {2\,{\it gh}+2\,{\frac {k{q}^{2} (1-\left \tg \left(\alpha\right) \righ) }{mh \left \cos\left(\alpha \right)  \right }}}$.
В принципе не сильно отличается).Откуда же этот косинус лишний или не лишний). Что не верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 15:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

неправильно прочитал картинку

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 16:13 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Через закон сохранения энергии правильно. Только лучше говорить не про скатывание, а про соскальзывание (при скатывании надо учитывать момент инерции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 16:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #539808 писал(а):
Только лучше говорить не про скатывание, а про соскальзывание

Это-то как раз не очень принципиально -- надо будет просто добавить поправочный множитель. Кстати, условие сформулировано неаккуратно -- непонятно, имелось ли в виду скатывание или соскальзывание: слова "скатывается" и "трением пренебречь" формально противоречат друг другу.

Но интереснее поставить другой вопрос: при каком угле постановка задачи вообще некорректна, т.е. шарик просто не сможет прокатиться (ну или проскользить) вдоль всей плоскости?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 16:57 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Да,простите,соскальзывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #539828 писал(а):
Но интереснее поставить другой вопрос: при каком угле постановка задачи вообще некорректна, т.е. шарик просто не сможет прокатиться (ну или проскользить) вдоль всей плоскости?...

$\alpha<\tfrac{\pi}{4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 17:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #539851 писал(а):
$\alpha<\tfrac{\pi}{4}$

Нет, конечно. Рассмотрите предельный случай, когда заряд очень маленький.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
ewert в сообщении #539828 писал(а):
Но интереснее поставить другой вопрос: при каком угле постановка задачи вообще некорректна, т.е. шарик просто не сможет прокатиться (ну или проскользить) вдоль всей плоскости?

$\alpha<\alpha_0=\arccos{\sqrt[3]{\frac{q^2}{mgh^2}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 18:54 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Это с чего вдруг? Заряды ведь одноименные. Движению ничего не мешает. Формально ответ верен при всех углах, даже если шарик отрывается от плоскости (лишь бы не пролетел основание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 19:48 


10/02/11
6786
а еще можно кривую скорешего спуска поискать

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение17.02.2012, 20:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #539916 писал(а):
Формально ответ верен при всех углах, даже если шарик отрывается от плоскости

Вот то-то и оно. Отрыв -- это уже и не скатывание, и не скольжение, да и бог весть где он после отрыва приземлится. Если даже на саму плоскость -- поди пойми, куда он отскочит. А если он не на плоскости, а нанизан на проволочку, то и тут не слава богу -- его можно тогда и запереть. В любом варианте неаккуратная формулировка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скатывающийся с горки заряженный шар
Сообщение18.02.2012, 06:27 
Аватара пользователя


06/01/12
376
California, USA
Я точно не помню условие, однако там было сказано: считайте, что шарик не отрывается от горки.
Так откуда же этот косинус во втором ответе? Кто-нибудь проверьте решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group