2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Как нарисовать гиперкуб?
Сообщение30.01.2012, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
У 3-куба есть симметрия порядка 8? А ну-ка поподробней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как нарисовать гиперкуб?
Сообщение30.01.2012, 12:43 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Предлагаю свой вариант "красивого" изображения гиперкуба на плоскости. Сначала вписываем в скружность квадрат. Потом делаем следующий шаг: поворачиваем изображенную фигуру на угол $\frac{\pi}{4}$ и соединяем попарно соседние вершины. Получили изображение трехмерного куба. Далее делаем шагов сколько потребуется, на каждом уменьшаем угол поворота ровно вдвое.

Правда, большинство квадратных граней будут изображаться самопересекающимися четырехугольниками :-( Но зато любые две вершины можно отобразить друг в друга поворотом/зеркальным отображением!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как нарисовать гиперкуб?
Сообщение30.01.2012, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ладно, Munin, можете не думать, нет там элементов порядка 8. Максимум 6.

Между тем, получается, что шестнадцатиугольного красивого тессеракта (шект) все же не существует (в частности, конструкция INGELRII не проходит).

Сначала о том, откуда берется порядок 8. По определению, группа симметрий шекта (грусишект):
1) является подгруппой $D_{16}$, действующей транзитивно на его вершинах.
2) изоморфна подгруппе группы симметрий тессеракта.

Из пункта 2) следует, что в грусишекте нет элементов порядка 16. Тогда единственный вариант, удовлетворяющий 1) - это все четные повороты плюс симметрии с осью, проходящей через середину стороны (сравните с восьмиугольным красивым кубом). Тут я мог ошибиться, но в любом случае грусишект должен содержать записанную группу.

Теперь, все симметрии 4-мерного куба (кстати, и в большей размерности это тоже правильно) имеют такой вид, как приведенный мною пример симметрии порядка 8: это замена нескольких координат плюс перестановка координат. Из них порядок 8 имеют те и только те, где меняется нечетное количество координат, а перестановка является циклом длины 4. Легко проверить, что орбиты действия таких симметрий состоят из двух циклов длины 8, причем один из этих циклов проходит последовательно через соседние вершины, а другой нет. Что противоречит транзитивности.

В большей размерности тем более не существует (там просто-напросто нет элементов подходящего порядка в группе симметрий гиперкуба).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как нарисовать гиперкуб?
Сообщение30.01.2012, 13:14 
Аватара пользователя


11/08/11
1135

(Оффтоп)

У меня группа состоит из двух элементов: поворот на угол $\frac{\pi}{2^{n-2}}$ и симметрия относительно диаметра, проходящего через середины самых коротких ребер, соединяющих вершины. Отображение любой вершины в любую другую вершины сводится к некоторому количеству этих двух операций.

Но при любой из этих двух операций каждое ребро графа переводится в какое-то другое ребро (по построению). А значит, и сам граф переводится сам в себя. А значит, и при переводе вершины в любую другую вершину граф опять же переведется сам в себя...

Не могли бы Вы указать, где именно я ошибаюсь?

-- 30.01.2012, 14:24 --

UPD: Даже еще более простой способ придумал. Отметим на окружности $2^{n}$ точек. Пронумеруем их от $0$ до $2^{n}-1$. Далее номер каждой точки запишем в двоичной системе счисления. И для каждой точки выполним такое действие: если ее номер в каком-то разряде содержит $0$, то соединяем ее ребром с той точкой, номер которой отличается от ее номера только в этом разряде (и там, соответственно, стоит $1$). Согласитесь, что построенный граф будет изоморфен гиперкубу?

Можете ли Вы указать хотя бы для случая $n=4$ пару вершин, которые нельзя будет отобразить друг в друга?


Всё, сам же и нашел у себя ошибку. Однако пост сохраню, так как сам по себе способ построения графа представляется довольно забавным, пусть даже и не обладает тем свойством, которое от него требовалось.

Прозрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как нарисовать гиперкуб?
Сообщение30.01.2012, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хорхе в сообщении #533008 писал(а):
У 3-куба есть симметрия порядка 8?

Да, опять ошибся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 80 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group