2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение12.01.2012, 18:22 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Точка единичной массы движется по плоскости в центральном поле сил $Q_{\varphi}=0$, $Q_r=\frac{f(\varphi)}{r^3}$, где $\varphi,r$ - полярные координаты и $r=0$ - центр действия сил, $f(\varphi)$ - гладкая $2\pi$ периодическая функция.
Напишем уравнения движения в фазовом пространстве с координатами $\varphi,r,p_r,p_{\varphi}$
$\dot \varphi=\frac{p_{\varphi}}{r^2}$, $\dot r=p_r$, $\dot p_r=Q_r+\frac{p_{\varphi}^2}{r^3}$, $\dot p_{\varphi}=Q_\varphi$. Очевидно, $p_\varphi$ - первый интеграл уравнений движения.
Вопросы.
Чему может быть диффеоморфна трехмерная поверхность уровня $p_\varphi=\operatorname{const}$?
Докажите, что на этой поверхности уровня можно ввести псевдориманову метрику, инвариантную относительно уравнений движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение28.01.2012, 17:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Хочу обратить внимание на содержательную сторону этой темы.
А именно. Фазовое пространство $\mathbb{R}^4$ динамической системы, которая не является интегрируемой, расслоено на трехмерные гладкие многообразия, которые допускают псевдориманову метрику, и среди геодезических этой метрики находятся интегральные кривые рассматриваемой динамической системы.
Первый интеграл $p_\varphi=c$. Будем полагать - и далее везде, что $c\ne0$. Топологическая (и гладкая) структура поверхностей уровня сразу становится понятной, если на плоскости движения перейти к декартовым координатам $q_1,q_2$. Соответствующие импульсы $p_1,p_2$ и
$p_\varphi=p_1{q_2}-p_2{q_1}$. Поверхности уровня $p_1{q_2}-p_2{q_1}=c\ne0$ являются гладкими многообразиями и диффеоморфны $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2$.
Рассмотрим в фазовом пространстве три гладких векторных поля
$X_1=p_r{\frac{\partial}{\partial{r}}}+\frac{p_\varphi}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}+\frac{f(\varphi)+{p_\varphi}^2}{r^3}\frac{\partial}{\partial{p_r}}$. Это векторное поле - уравнения движения.
$X_2=r\frac{\partial}{\partial{r}}-p_r{\frac{\partial}{\partial{p_r}}}$
$X_3=r\frac{\partial}{\partial{p_r}}$
Коммутаторы $[X_1,X_2]=2X_1, [X_1,X_3]=-X_2, [X_2,X_3]=2X_3$
Все три поля касаются поверхностей уровня, линейно независимы в каждой точке и порождают над $\mathbb{R}$ алгебру Ли $sl_2{(R)}$
Инвариантную псевдориманову структуру можно ввести теперь следующим образом.
На поверхности уровня $p_\varphi=c\ne0$ определяются дуальные формы $\omega^i$, $\omega^i(X_j)=\delta{_j}^{i}$, $i,j=1,2,3$
$\Omega=\sum_{ij=1}^3{a_{ij}}{\omega^i}{\omega^j}$ и $a_{ij}=\operatorname{tr}(ad_{X_i}\cdot{ad_{X_j}})$
Проведя необходимые вычисления находим, что $a_{22}=8, a_{13}=4, a_{31}=4$. Все остальные $a_{ij}$ равны нулю.
Таким образом, $\Omega=(\omega^2)^2+{\omega^1}{\omega^3}$.(Восьмерку сократили) Очевидно, $\Omega$ невырождена и имеет сигнатуру $(+ + -)$.
Кроме того, проверяется вычислением, что $L_{X_i}(\Omega)=0$ для $i=1,2,3$, где $L$ - производная Ли.
Таким образом, геодезическими введенной псевдоримановой структуры $\Omega$ на $p_\varphi=c$ являются интегральные кривые полей
$X={b_1}{X_1}+{b_2}{X_2}+{b_3}{X_3}$, где $b_i$ - вещественные числа. (Отсюда, кстати, следует, что в нашем случае самопересекающаяся геодезическая является замкнутой кривой).

А теперь вот какой вопрос. В выражении для $Q_r=\frac{f(\varphi)}{r^3}$ можно выбирать различные $f(\varphi)$. Каждый раз будут меняться $X_1$ и $\Omega$. Поверхность же уровня остается всегда неизменной. Обозначим новое поле $\tilde X_1$. В каких случаях при изменении $f(\varphi)$ существует диффеоморфизм $\Psi$ поверхности уровня на себя, такой, что $d\Psi(X_1)=\tilde X_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение28.01.2012, 18:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
scwec, очень интересно. То, о чем Вы рассказываете, понимаю процентов на 60.
Поясните, пожалуйста, такой момент.
scwec писал(а):
на этой поверхности уровня можно ввести псевдориманову метрику, инвариантную относительно уравнений движения.
scwec писал(а):
Фазовое пространство $\mathbb{R}^4$ динамической системы, которая не является интегрируемой, расслоено на трехмерные гладкие многообразия, которые допускают псевдориманову метрику
Это я понимаю.
scwec писал(а):
среди геодезических этой метрики находятся интегральные кривые рассматриваемой динамической системы
А это нет. Непонятно, каким образом интегральные кривые становятся геодезическими, даже при условии, что метрика инвариантна относительно сдвига вдоль соответствующего векторного поля. По-моему, это совершенно необязательно. Может быть, это верно в данном случае, тогда это замечательно. Но в общем -- это векторное поле будет только полем Киллинга для данной метрики, или, что то же, производная Ли от метрического тензора вдоль этого поля равна нулю, ну, и всё...

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение28.01.2012, 18:39 


10/02/11
6786
Возможно глупый вопрос задам. А эта система в квадратурах интегрируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение28.01.2012, 19:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для svv: Действительно, впрямую я это в тексте не доказываю. Но это справедливое утверждение.
То, что $X_1,X_2,X_3$ порождают алгебру Ли, играет главную роль в этом.
Оно справедливо и для более широкого класса систем.
Для Oleg Zubelevich: вопрос очень даже не глупый.
Нет, не интегрируется в квадратурах. Я хотел отдельно даже это обсудить. Коротко, попытка интегрировать приводит к уравнению Риккатти.
А оно, как известно - есть теорема Лиувилля на этот счет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение28.01.2012, 19:38 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо! Ну, в таком случае, прекрасно, что это ещё и геодезические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение29.01.2012, 11:27 


10/02/11
6786
если есть инвариантная метрика то можно ввести инвариантную меру

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение29.01.2012, 12:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Не вижу, как это обстоятельство может помочь интегрированию уравнений, если Вы об этом.
Конечно, они интегрируются при $f(\varphi)=\operatorname{const}$. Но это совсем тривиально.
Могу предложить следующую задачу. Очень может помочь для лучшего понимания проблемы.
Пусть известна гладкая функция $V$ на $\mathbb{R}^3$ такая, что $X_1(V)=1$, тогда для $X_1$ квадратурами находится первый интеграл. Причем это относится к любой системе гладких линейно независимых полей $X_1,X_2,X_3$ на $\mathbb{R}^3$, порождающих $sl_2(R)$. Коммутаторы прежние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение29.01.2012, 12:54 


10/02/11
6786
scwec в сообщении #532615 писал(а):
Не вижу, как это обстоятельство может помочь интегрированию уравнений, если Вы об этом.

нет я не об этом.
Вот если б на уровне этого первого интеграла нашлись компактные инвариантные множества ненулевой меры на которых система эргодична, было бы очень интересно. Сейчас тоже, конечно, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение20.03.2012, 16:16 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
1.Поскольку, возможно, осталось непонятым почему геодезические являются интегральными кривыми линейных комбинаций полей $X_1,X_2,X_3$, привожу доказательство.
Удобно для этого использовать в качестве уравнений геодезических уравнения Пуанкаре в квазикоординатах.
Введем параметры Пуанкаре (линейные формы скоростей): $\eta^i=\frac{\omega^i}{dt}$, $i=1,2,3$, квадратичную форму $T=(\eta^2)^2+{\eta^1}{\eta^3}$. Тогда уравнения Пуанкаре запишутся так:
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^i}})=L_{X_i}(T)$.
Правая часть уравнений Пуанкаре всегда есть $L_{X_i}(T)$ и я не выписываю её в сложном классическом виде. Ранее установлено,что $L_{X_i}(\Omega)=0$.
Отсюда $\frac{d}{dt}(\frac{\partial{T}}{\partial{\eta^i}})=0$ для всех $i$.
Таким образом уравнения геодезических в нашем случае есть $\eta^1=c_1, \eta^2=c_2, \eta^3=c_3$, где $c_i$ - вещественные числа. Зафиксируем $c_i$ и рассмотрим поле $c_1{X_1}+c_2{X_2}+c_3{X_3}$. В любой точке нашей поверхности уровня вектор этого поля является касательным вектором к геодезической(соответствующей параметрам $c_i$). Соответственно интегральные кривые этого поля совпадают с геодезическими.
2. Теперь относительно инвариантной меры. По-моему хорошая мысль.
Действительно, 3-форма $\omega={\omega^1}\wedge{\omega^2}\wedge{\omega^3}$ является инвариантной. $L_{X_1}(\omega)=0$. Более того, эта форма точная. $\omega=d(\frac{p_r}{r}{\omega^1}\wedge{\omega^2})$. Надо подумать, что с этим можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение13.04.2012, 15:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Вычислим класс Годбийона-Вея для слоения $\omega^3=0$ на $p_\varphi=\operatorname{const}$ т.е. на $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2$.
Касательные плоскости к слоям порождены полями $X_1,X_2$.
Уравнения Маурера-Картана для форм $\omega^i$:
$d\omega^3=-\omega^2\wedge{\omega^3}$
$d\omega^2=\frac{1}{2}\omega^1\wedge{\omega^3}$
$d\omega^1=-\omega^1\wedge{\omega^2}$.
Из первой и второй строчек формул следует, что форма Годбийона-Вея Г$=\omega^2\wedge{d\omega^2}=-\frac{1}{2}\omega^1\wedge{\omega^2}\wedge{\omega^3}$.
Из предыдущего сообщения следует, что Г$=d(-\frac{p_r}{2r}\omega^1\wedge\omega^2)$.
Таким образом, Г точна и класс когомологий Годбийона-Вея равен нулю.
Это означает, что есть надежда на существование первого интеграла в целом общего для $X_1,X_2$.
Далее надо попытаться его вычислить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение в центральном непотенциальном поле
Сообщение18.05.2012, 15:47 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Oleg Zubelevich в сообщении #532367 писал(а):
А эта система в квадратурах интегрируется?

Здесь можно поступить следующим образом. Поскольку $[X_1,X_2]=2X_1$, то $\omega^3=0$ порождает 2-слоение на $p_{\varphi}=c$, кроме того $X_2$ имеет два первых интеграла $\varphi$ и $rp_r$. Следовательно, общий для $X_1,X_2$ первый интеграл имеет вид $F=F(\varphi,rp_r)$.
Перейдя к переменным $\varphi,r,q=rp_r$ (якобиан преобразования равен $r>0$) и не переобозначая $X_1,X_2$, считая их ограничением на $p_\varphi=c$, имеем $X_1(\varphi)=\frac{c}{r^2}$, $X_1(q)=rX_1(p_r)+p_r{X_1(r)}=\frac{f(\varphi)+c^2+q^2}{r^2}$.
$X_1(F(\varphi,q))=\frac{c}{r^2}\frac{\partial{F}}{\partial\varphi}+\frac{f(\varphi)+c^2+q^2}{r^2}\frac{\partial{F}}{\partial{q}}$.
Следовательно, $F(\varphi,q)$ является первым интегралом системы $\dot \varphi=c, \dot q=f(\varphi)+c^2+q^2$
или уравнения Риккати $\frac{dq}{d\varphi}=\frac{f(\varphi)}{c}+c+\frac{q^2}{c}$.
В квадратурах решения таких уравнений не обязаны выражаться, а в целом первый интеграл, видимо, существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group