электрические цепи

[obar]

1. Показать, что в произвольной электрической цепи, состоящей лишь из резисторов, распределение токов такое, что рассеиваемая суммарная тепловая мощность минимальна (при фиксированном полном токе).

2. В электрической цепи, состоящей лишь из резисторов, произвольно выбрали два узла и припаяли к ним некоторое сопротивление. Доказать, что сопротивление новой схемы не больше первоначального.

[obar]

1. Рассмотрим для общности (и в то же время для упрощения) вместо схемы резисторов проводящую среду с удельным сопротивлением $\rho(\vec{x})$. Выделяемая в этой среде тепловая мощность дается интегралом

$$ N=\int\vec{j}^2(\vec{x})\rho(\vec{x})dV\,. $$

Условие фиксации полного тока $\int_\Sigma(\vec{j}d\vec{S})=\mathrm{const}$, где интегрирование проводится по любому сечению $\Sigma$ области. Экстремум $N$ достигается при таком распределение тока $\vec{j}(\vec{x})$, когда

$$ \delta N\sim\int\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot\delta\vec{j})dV=0\eqno(1) $$

для произвольной вариации $\delta\vec{j}$, удовлетворяющей условию

$$ \int_\Sigma(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})=0\,,\quad \forall\Sigma\eqno(2) $$

а также граничным условиям ($\delta\vec{j}$ касательно на границе области).

Распишем условие (1). Для данной вариации $\delta\vec{j}$ рассмотрим узкую трубку тока вдоль $\delta\vec{j}$ ($d\vec{l}\parallel\delta\vec{j}\parallel\vec{n}$ см. рис.).



Имеем следующее преобразование

$$ \delta N\sim\int\rho(\vec{j}\delta\vec{j})dV=\int\rho j\delta j\cos\theta dSdl=\int\rho(\delta jdS)(jdl\cos\theta)=\int\rho(\delta\vec{j}d\vec{S})(\vec{j}d\vec{l}).\eqno(3) $$

Вдоль любого сечения трубки тока величина $(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})=\mathrm{const}$ поскольку $\mathrm{div}\delta\vec{j}=0$ (следствие (2)) и $\delta\vec{j}\parallel\vec{n}$ (по построению).
Поэтому мы можем вначале проинтегрировать в (3) по $dl$

$$ \delta N=\int_\Sigma(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})\int_l\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})\,. $$

С учетом (2) видно, что условие $\delta N=0$ будет выполнено, если потребовать чтобы

$$ U_{AB}=\int_{(A)}^{(B)}\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})=\mathrm{const}\eqno(4) $$

вдоль любой линии тока $\delta\vec{j}$. В виду произвольности $\delta\vec{j}$ равенство (4) выполняется для любого контура с фиксированными концами и дает разность потенциалов между точками $A$ и $B$. Т.о., экстремум (минимум) тепловой мощности достигается при соблюдении законов Кирхгофа: сохранение тока ($\int(\vec{j}d\vec{S})=\mathrm{const}$) и потенциальности поля $\oint\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})=0$ для любого замкнутого контура.

2. Требуемое непосредственно следует из доказанного выше свойства. Допаяв сопротивление мы добавляем новые возможности распределения токов (не изменяя старых). Поэтому, минимальная мощность не может увеличиться. А т.к. $N=I^2R$, то при фиксированном $I$ полное сопротивление $R$ не возрастает.

[Munin]

(Оффтоп)

В формулах с дифференциалами, чтобы они не сливались с другими множителями, удобно добавлять тонкие пробелы комбинацией \,. Впрочем, некоторые математики предпочитают вместо этого набирать d прямым шрифтом, дело привычки.

Идея красивая. Но у вас сильно недосказано, что такое "сечения" $\Sigma,$ "трубки тока" и т. д. Вообще, $\int_\Sigma(\mathbf{j}\,d\mathbf{S})=\mathrm{const}$ имеет смысл только тогда, когда оговорена какая-то топологическая эквивалентность между всеми $\Sigma.$ Кроме того, можно попробовать обойтись без (2), играющего роль связи. И как конечную цель - необязательно выводить именно законы Кирхгофа, можно эквивалентную им систему уравнений, удобно - дифференциальных. Ну и в конце, можно попытаться уйти от обобщения непрерывной среды, вернувшись к дискретной системе. Возможно, упрощения-то никакого и не было, просто более привычная математика.

[obar]

Без (2) обойтись нельзя. Ясно, что выделяемая мощность пропорциональна полному току. Без фиксации полного тока экстремумы очевидны: $N=0$ (min) и $N=\infty$ (max).

[Munin]

Хм, действительно.

[Bulinator]

Да, красиво!

[obar]

Интересно, что многие законы физики можно переформулировать в виде некоторого вариационного принципа. Помимо классических примеров из механики и геометрической оптики сюда можно добавить и законы электрики (правила Кирхгофа), а также уравнения термодинамики (их тоже можно получить из некоторого "принципа наименьшего действия", встречал подобное в работах Планка с обобщением на релятивистский случай).

[Munin]

obar в сообщении #529535 писал(а):

Интересно, что многие законы физики можно переформулировать в виде некоторого вариационного принципа.

Пусть у нас есть закон физики в виде некоторого однозначного утверждения $f(x)=0$ ($x$ многомерная). Тогда $f^2(x)=0$ и $[d(f^2)/dx](x)=0.$ Более того, если $f$ многомерная, то под $f^2$ можно понимать сумму квадратов компонент - скаляр. Так что, для переформулирования в виде вариационного принципа, от законов физики нужна только детерминистская математическая формулировка. Даже если то, чем она оперирует - вероятности.

Но каждое частное приложение, несомненно, красиво.

[svv]

obar писал(а):

1. Показать, что в произвольной электрической цепи, состоящей лишь из резисторов, распределение токов такое, что рассеиваемая суммарная тепловая мощность минимальна (при фиксированном полном токе).

Выберем для каждого резистора положительное направление протекания тока. Пусть через резистор $R_k$ течет ток $I_k$.
Теперь добавим дополнительные контурные токи $J_m$, где $m$ -- номер контура. Тем самым закон Кирхгофа для токов продолжает выполняться (и сохраняется полный ток), а для напряжений -- нарушается. Пусть в результате через резистор $R_k$ течет ток $I_k+\Delta I_k$. Тогда суммарная мощность изменится на величину

$$2\sum\limits_k R_k I_k \Delta I_k + \sum\limits_k R_k (\Delta I_k)^2$$

Вторая сумма положительна (коль хоть на одном резисторе ток изменился). Докажем, что первая сумма равна нулю -- что и даст решение задачи.

Заметим, что $\Delta I_k=\sum\limits_m\varepsilon_{km} J_m$, где $\varepsilon_{km}$ равно
$0$, если $m$-й контур не проходит через $k$-й резистор,
$+1, -1$, если он-таки проходит, и выбранное положительное направление тока $m$-го контура совпадает/противоположно положительному направлению $k$-го резистора.

Подставим $\Delta I_k$ в первую сумму:

$$\sum\limits_k R_k I_k \Delta I_k = \sum\limits_m \left(J_m \sum\limits_k R_k I_k \varepsilon_{km}\right)$$

Внутренняя сумма -- это сумма падений напряжений по $m$-му контуру, а так как для исходных токов $I_k$ закон напряжений Кирхгофа выполнялся, она равна нулю.

[obar]

Здорово! Дискретный вариант решения оказался не сложнее непрерывного.

[Bulinator]

1. Prove that in an electrical network consisting of resistors only, the distribution of currents is such that the heat generated by them is minimal with constant total current.

2. In an electrical network, two arbitrary nodes are chosen and a resistor is added. Prove that the total resistance wasn't raised.

1. For generality(and also for simplicity) instead of scheme of resistors consider a conducting media with electrical resistivity $\rho(\vec{x})$. The produced heat is given by the following integral:

$$ N=\int\vec{j}^2(\vec{x})\rho(\vec{x})dV\,. $$

And the condition of constancy of the total current reads

$$\int_\Sigma(\vec{j}d\vec{S})=\mathrm{const},$$

where the integration goes over an arbitrary intersection $\Sigma$ of the domain. The extremum of $N$ is achieved for distributions $\vec{j}(\vec{x})$ such that

$$ \delta N\sim\int\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot\delta\vec{j})dV=0\eqno(1) $$

for arbitrary variation $\delta\vec{j}$, which satisfies

$$ \int_\Sigma(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})=0\,,\quad \forall\Sigma\eqno(2) $$

and also boundary conditions for $\delta\vec{j}$.
Let us write down the condition (1). For given a variation let us consider a narrow current tube along $\delta\vec{j}$ ($d\vec{l}\parallel\delta\vec{j}\parallel\vec{n}$, see pic.).

One can write the following transformation

$$ \delta N\sim\int\rho(\vec{j}\delta\vec{j})dV=\int\rho j\delta j\cos\theta dSdl=\int\rho(\delta jdS)(jdl\cos\theta)=\int\rho(\delta\vec{j}d\vec{S})(\vec{j}d\vec{l}).\eqno(3) $$

From (2) it follows that $\mathrm{div}\delta\vec{j}=0$. Taking in account that $\delta\vec{j}\parallel\vec{n}$ we conclude that along any intersection of the tube we have $(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})=\mathrm{const}$.
Thus, in (3) we can first integrate by $dl$:

$$ \delta N=\int_\Sigma(\delta\vec{j}\cdot d\vec{S})\int_l\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})\,. $$

:

Taking in account (2) we conclude that the condition $\delta N=0$ is satisfied if we require

$$ U_{AB}=\int_{(A)}^{(B)}\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})=\mathrm{const}\eqno(4) $$

along any current line $\delta\vec{j}$. Since $\delta\vec{j}$ is arbitrary, the euqality (4) should be satisfied for any circuit with fixed ends and defines the electrical potential difference between the points $A$ and $B$. Thus, the extremum of the produced heat in an electrical network is achieved only in case of satisfying the Kirchhoff's circuit laws: conservation of current($\int(\vec{j}d\vec{S})=\mathrm{const}$) and the potentiality of the field- $\oint\rho(\vec{x})(\vec{j}\cdot d\vec{l})=0$ for any closed circuit.

-- Вс янв 22, 2012 18:54:26 --

Я тут пересказывл своему приятелю, вот и решил перевести.

[Munin]

What was that?

scheme -> circuit