2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Интересует такой вопрос. Например $f(n)=e^n, n \in \mathbb{Z}$. Требуется восстановить значения функции на вещественной прямой.
Вопрос наверняка "баян", возможно я что-то пропустил в курсе матана:)
Касательно вообще произвольных функций и функций $C^{k}(\mathbb{R})$ (порядок гладкости k) всё понятно: просто соединяем точки полиномами нужной степени (кажется это называется сплайнами). Таких функций сколько угодно. Это правильно?
Трудности у меня начинаются, если рассматривать $C^{\infty}(\mathbb{R})$ функции, а также аналитические функции.
Будет ли их тоже бесконечное количество? Если да, то как строить такие функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 00:51 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Legioner93 в сообщении #529075 писал(а):
Будет ли их тоже бесконечное количество?

Конечно — полиномы-то абсолютно гладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Joker_vD в сообщении #529076 писал(а):
Legioner93 в сообщении #529075 писал(а):
Будет ли их тоже бесконечное количество?

Конечно — полиномы-то абсолютно гладки.

Хм. А что же тогда называют дефектом сплайна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 01:16 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Блин, нельзя отвечать на вопросы в два часа ночи :-( Забудьте, я не учел, что у вас $\mathbb N$ опорных точек. Хм, что $C^k(\mathbb R)$ бесконечно много, интуитивно понятно. А вот $C^\infty(\mathbb R)$... может, попробовать ряд Тейлора восстановить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Legioner93, на всякий случай замечу, что однозначно восстановить функцию по её значениям в опорных точках $x_n=n\in\mathbb{Z}$ не получится. Например, Вы можете к $f(x)$ прибавить конечную или бесконечную сумму $\sum\limits_k a_k \sin \pi k x$, и это не изменит её значения в опорных точках.

См. ещё Теорема Котельникова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли задать вещественную функцию счётным числом точек?
Сообщение20.01.2012, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
svv
Большое спасибо:) Отличное решение
Остался такой вопрос: а если мы не знаем ни одной $f(x)$, подходящей под условие?
Т.е. если мы имеем одну $f(x)$, то автоматически имеет сколько угодно функций. Но вот как найти эту первую?

UPD:
Вспомнил про известную задачу об аналитическом продолжении $a\uparrow \uparrow a$ и понял, что это из другой оперы:) Вопрос снят.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group