[Урав Матем Физики] [Интегральные преобразования]

[meteese]

Цитата:

Пытался решить задачу по математической физике. Незаконченное решение выложил там http://narod.ru/disk/38088553001/PDE_exam.pdf.html

Решать эту задачу нужно только интегральными преобразованиями. Не знаю как закончить и не уверен, что вообще решаю верно. Заранее спасибо.

По ссылке расположен оформленный PDF документ, полученный набором в Latex. Там решение на четыре страницы А4 с громоздкими формулами, перекрестными ссылками, зачеркиваниями. Если я перепишу тот текст в текст на форуме, качество будет хуже.
------------------------------------------------------------------

Задание:
$U_t - a^2U_{xx} = f(x,t), \quad x>0, \quad t>0$,\\ $U_x(0,t)=b\cdot e^{-t}$,\\ $U(x,0)=0$,\\ $\lim_{x\rightarrow + \infty} U = \lim_{x\rightarrow + \infty} U_x=0.$

Решение:
Последнее условие означает, что на бесконечной полупрямой за любое конечное конечное время колебания не успевают дойти до правого конца.

Считая $t$ параметром, введем по переменному $x$ косинус-преобразование Фурье функции $U(x,t)$:

$\hat{U}(\lambda, t) = \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U(\xi,t)\cos \lambda\xi \;d\xi.$

Применяем к первому уравнению
$\sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U(\xi,t) \cos \lambda\xi \;d\xi = $\\ $ a^2 \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U_{\xi\xi}(\xi,t)\cos\lambda\xi \;d\xi+ \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty f(\xi,t) \cos \lambda\xi \;d\xi.$

Преобразуем интегралы
$\sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U_t(\xi,t)\cos \lambda\xi\; d\xi = {\partial \over \partial t} \left[ \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U(\xi,t)\cos \lambda\xi \; d\xi \right] = $\\ ${\partial \hat{U}(\lambda,t) \over \partial t}.$

$a^2 \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty U_{\xi\xi} (\xi,t) \cos \lambda\xi \; d\xi =$\\ $ a^2 \sqrt{2 \over \pi} U_\xi(\xi,t) \cos \lambda\xi \big|_0^\infty - a^2 \sqrt{2 \over \pi} \lambda \int\limits_0^\infty U_\xi (-\sin \lambda\xi)d\xi =$\\ $ 0-a^2\sqrt{2 \over \pi} U_\xi (0,t) \cdot 1 + \cancelto{0}{a^2 \sqrt{2 \over \pi} \lambda U(\xi,t) \sin \lambda\xi}\big|_0^\infty - a^2 \sqrt{2 \over \pi} \lambda^2 \int\limits_0^\infty \cos \lambda\xi \; d\xi =$\\ $ -a^2 \sqrt{2 \over \pi} b e^{-t} - a^2\lambda^2 \hat{U}(\lambda,t).$

$\hat{f}(\lambda,t) = \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty f(\xi, t) \cos \lambda\xi \;d\xi.$

Подставляем
${\partial \hat{U}(\lambda,t) \over \partial t} = -a^2 \sqrt{2 \over \pi} b\cdot e^{-t} - a^2\lambda^2 \hat{U}(\lambda,t) + \hat{f}(\lambda,t).$

Полагая $t=0$ и учитывая $U(x,0)=0$, получим условие
$\hat{U}(\lambda,0) = 0.$

$\lambda$ входит как параметр, поэтому можно записать через полный дифференциал
${d \hat{U}(\lambda,t) \over d t} + a^2 \sqrt{2 \over \pi} b\cdot e^{-t} = \hat{f}(\lambda,t) - a^2\lambda^2 \hat{U}(\lambda,t).$

Для $\hat{U}(\lambda,t)$ мы перешли к задаче Коши для обыкновенного линейного ДУ первого порядка с условием. Задачу можно решить на выбор методом Бернулли или методом вариации произвольной константы. Решим методом Бернулли. Пусть $\hat{U}(\lambda,t) = \Phi(\lambda,t)\cdot \Omega(\lambda,t)$, где одну из двух функций можно выбрать как нам удобно. $\Phi(\lambda,t),\Omega(\lambda,t), \hat{f}(\lambda,t)$ для краткости будем записывать как $\Phi, \Omega, \hat{f}$.

$\Phi_t'\cdot\Omega + \Phi\cdot\Omega_t' + a^2\lambda^2\Phi\cdot\Omega = \hat{f} - a^2 \sqrt{2 \over \pi} b e^{-t}.$

$\Phi_t'\cdot\Omega + \Phi(\Omega_t' + a^2\lambda^2\Omega) = \hat{f} - a^2 \sqrt{2 \over \pi} b e^{-t}.$

$\Omega_t' + a^2\lambda^2\Omega = 0;$

${d\Omega \over \Omega} = -a^2\lambda^2 dt;$

$\Omega = Ce^{-a^2\lambda^2t}.$

Поскольку нам достаточно одного ненулевого решения, примем $C=1$:
$\Omega = e^{-a^2\lambda^2t}.$

$\Phi_t'\cdot e^{-a^2\lambda^2t} + 0 = \hat{f} - a^2\sqrt{2 \over \pi} b e^{-t}.$

${d\Phi \over dt} = \frac{\hat{f}-a^2 \sqrt{2 \over \pi} b e^{-t}}{e^{-a^2 \lambda^2 t}};$

$\Phi = \int\limits_0^t \left( \hat{f}-a^2\sqrt{2 \over \pi} b e^{-\tau} \right) e^{a^2 \lambda^2 \tau} \;d\tau = $\\ $ \int\limits_0^t \hat{f} e^{a^2\lambda^2\tau}\;d\tau - \int\limits_0^t a^2 \sqrt{2 \over \pi} b e^{a^2\lambda^2\tau - \tau} \;d\tau = $\\ $ \int\limits_0^t \hat{f} e^{a^2\lambda^2\tau} \;d\tau - a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{(a^2\lambda^2-1)\tau} \over a^2\lambda^2-1} \big|_0^t = $\\ $ \int\limits_0^t \hat{f} e^{a^2\lambda^2\tau}\;d\tau - a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{(a^2\lambda^2-1)t} \over a^2\lambda^2-1} + a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {1 \over a^2\lambda^2-1}.$

$\hat{U} = \Omega \cdot \Phi = $\\$ a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{-a^2\lambda^2t} \over a^2\lambda^2-1}- a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{\cancel{a^2\lambda^2t}-t-\cancel{a^2\lambda^2t}} \over a^2\lambda^2-1} + e^{-a^2\lambda^2t}\int\limits_0^t \hat{f}(\lambda,\tau) e^{a^2\lambda^2\tau}\;d\tau = $\\ $ a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{-a^2\lambda^2t}-e^{-t} \over a^2\lambda^2-1} + e^{-a^2\lambda^2t}\int\limits_0^t \hat{f}(\lambda,\tau) e^{a^2\lambda^2\tau}\;d\tau.$

Обратное преобразование Фурье
$U(\xi,t) = \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty \hat{U}(\lambda,t) \cos \lambda \xi \;d\lambda;$

$U(\xi,t) = \sqrt{2 \over \pi} \int\limits_0^\infty \left( a^2 \sqrt{2 \over \pi} b {e^{-a^2\lambda^2t}-e^{-t} \over a^2\lambda^2-1} + e^{-a^2\lambda^2t}\int\limits_0^t \hat{f}(\lambda,\tau) e^{a^2\lambda^2\tau}\;d\tau \right) \cos \lambda \xi \;d\lambda;$
----------------------------------------

Сегодня выяснилось, что нужно было немного обобщить решение, записав $U_x(0,t)=b\cdot e^{-t} = \varphi(t)$. Может зря я решал ОДУ методом Бернулли. Может другие методы дадут результаты получше.

[zhoraster]

Возвращено.

[meteese]

Я решил эту задачу.

Решение:
$ U(x,t)={1 \over 2a\sqrt{\pi} } \int\limits_0^t \int\limits_0^\infty {f(\xi,\tau) \over \sqrt{t-\tau}} \left( e^{ -{(\xi-x)^2 \over 4a^2(t-\tau)} } - e^{ -{(\xi+x)^2 \over 4a^2(t-\tau)} } \right) \; d\xi \; d\tau + $ $ {a \over \sqrt{\pi}} \int\limits_0^t {\varphi(\tau) \over \sqrt{t-\tau}} e^{ -{x^2 \over 4a^2(t-\tau)} } \;d\tau$

Это типичный ответ для подобных задач.
Теперь нужно найти изменение температуры (график) при
$x=0.5, \quad 0 \leq t \leq 200$, \quad a=110\cdot10^{-6}, \quad$ $f(x,t)=\operatorname{const}=10, \quad \varphi(t)=b\cdot e^{-t}, \quad b=2000

Строить график нужно на компьютере. Но так сразу компьютер такое не посчитает. Там же есть особенности. Как преобразовать? Считать можно адаптивно, т.е. суммировать не доходя до точек особенностей, если они на границах интегрирования.

Есть какой-то странный метод вычисления интегралов с особенностями: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%A1%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%88%D0%B0. И никаких ссылок! Откуда такой метод взялся, черт знает.

[meteese]

http://narod.ru/disk/start/14.dl3c-narod.yandex.ru/38446802001/h6011cd5ec3e741387bb28e9ccf15430d/PDE_exam.pdf

Сделал расчет в Mathcad и на Python с SciPy.
Результаты различаются так, что я даже не знаю что сказать. И кто из них врет? Я мог неправильно программу на питоне написать.

[meteese]

Нашел ошибку. Исправил:
http://narod.ru/disk/start/02.dl3b-narod.yandex.ru/38456229001/h6011cd5ec3e741387bb28e9ccf15430d/PDE_exam.pdf

Напишу здесь код на питоне

(Оффтоп)

from scipy import *
from scipy.integrate import quad,dblquad
from pylab import *

a=sqrt(1.1)*0.01
x=0.5
b=2500
pi=3.14

def U1(t):
res, error = dblquad(lambda tau, xi:
10.0/sqrt(t-tau)*( exp(-( (xi-x)**2.0/a**2.0/4.0/(t-tau) ))
- exp(-( (xi+x)**2.0/a**2.0/4.0/(t-tau) )) ),
0, Inf, lambda xi: 0, lambda xi: t)
res *= 1.0/2.0/a/sqrt(pi)
return res

def U2(t):
res, error = quad(lambda tau:
b*exp(-t)/(t-tau)*exp(-x**2.0/4/a**2.0/(t-tau)), 0, t)
res *= a/sqrt(pi)
return res

t1=0.1
t2=300.0
n=30
results1 = linspace(t1, t2, n)
results2 = linspace(t1, t2, n)
results = linspace(t1, t2, n)
i=0
for item in linspace(t1, t2, n):
results1[i] = U1(item)
results2[i] = U2(item)
results[i] = results1[i] + results2[i]
print "t = ", item, " U(0.5, t) = ", results[i]
i+=1

print ">>>>> U(0.5, 200) = ", U1(200.0)+U2(200.0)

figure()
scatter(linspace(t1, t2, n), results)
show()

И результаты

(Оффтоп)

t = 0.1 U(0.5, t) = 1.0342252742e-18
t = 10.4413793103 U(0.5, t) = 104.44026986
t = 20.7827586207 U(0.5, t) = 207.880286113
t = 31.124137931 U(0.5, t) = 311.320302358
t = 41.4655172414 U(0.5, t) = 414.760314387
t = 51.8068965517 U(0.5, t) = 518.20022473
t = 62.1482758621 U(0.5, t) = 621.640557217
t = 72.4896551724 U(0.5, t) = 725.076407655
t = 82.8310344828 U(0.5, t) = 828.502672156
t = 93.1724137931 U(0.5, t) = 931.908471449
t = 103.513793103 U(0.5, t) = 1035.27797882
t = 113.855172414 U(0.5, t) = 1138.58841209
t = 124.196551724 U(0.5, t) = 1241.82017601
t = 134.537931034 U(0.5, t) = 1344.94469192
t = 144.879310345 U(0.5, t) = 1447.9341081
t = 155.220689655 U(0.5, t) = 1550.76016612
t = 165.562068966 U(0.5, t) = 1653.39497386
t = 175.903448276 U(0.5, t) = 1755.81159026
t = 186.244827586 U(0.5, t) = 1857.98444033
t = 196.586206897 U(0.5, t) = 1959.88958848
t = 206.927586207 U(0.5, t) = 2061.50489891
t = 217.268965517 U(0.5, t) = 2162.81010925
t = 227.610344828 U(0.5, t) = 2263.78684068
t = 237.951724138 U(0.5, t) = 2364.42330202
t = 248.293103448 U(0.5, t) = 2464.69547692
t = 258.634482759 U(0.5, t) = 2564.59477738
t = 268.975862069 U(0.5, t) = 2664.1097831
t = 279.317241379 U(0.5, t) = 2763.23047908
t = 289.65862069 U(0.5, t) = 2861.94824058
t = 300.0 U(0.5, t) = 2960.25567512
>>>>> U(0.5, 200) = 1993.46690129

Результат Mathcad:
U(x=0.5, t=200) = 50460

Графики похожие, если не считать маткадовский более вогнутым. Маткадовский ответ в 25 раз больше питоновского. Где ошибка? Кто может в своих программах посчитать?

[worm2]

Считать неохота, но можно прикинуть, где правда: посчитать в нескольких близких точках прямоугольной решётки, аппроксимировать на них $U_{xx}$ и $U_t$, подставить в основное уравнение и посмотреть, получится ли там число, близкое к 10. Т.е., например, вместе с $U(0.5, 10)$ и $U(0.5, 20)$ посчитать $U(0.4, 10)$ и $U(0.6, 10)$, и т.д.