Как сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N костей (кубиков)?

[serg2]

Игральная кость - кубик с нумерованными гранями от 1 до 6

Ищу формулу, по которой реально сосчитать число ИСХОДОВ выпадания N игральных костей.

Сосчитал вручную количество исходов выпадения двух костей = 21
(или 36, если учитывать, что 15 исходов дублируются как 1-2 и 2-1)

Спасибо.

[Whitaker]

serg2
Я не совсем понял что Вы хотите найти. Сформулируйте пожалуйста более точно условие задачи.

[serg2]

Whitaker - Поясняю:

Когда я бросаю одну кость - имею 6 вариантов исходов (1,2,3,4,5,6)

Когда я играю в нарды и выбрасываю 2 кости - то количество выпадающих исходов двух костей равно 21 чистых вариаций и 36 с дублированными исходами.
тут приведены эти варианты выпаданий:
http://logicgamesmasters.by/content/sha ... -v-nardakh

или так (21 вариант без учета 15 дублей):
1-1
1-2 2-2
1-3 2-3 3-3
1-4 2-4 3-4 4-4
1-5 2-5 3-5 4-5 5-5
1-6 2-6 3-6 4-6 5-6 6-6

Нужна формула подсчета сочетаний для исходов выбрасываний 3, 4, 5, 6, 7 .....n кубиков

Для сочетаний из трех кубиков - имеем - 126 чистых исходов и 216 с тройными дубляжами (типа 6-6-2 / 6-2-6 / 2-6-6)

[Whitaker]

Понятно serg2. Задача интересная. Сейчас подумаем

[serg2]

Спасибо, Whitaker
Думал, что эта задача давным давно уж решена и ничего не стоит отгуглить решение в интернете, однако убитый день старого нового года, не дав приемлемого результата, привел к Вам математикам.

С Новым Старым Годом!

[Whitaker]

serg2
Когда у нас всего 3 кубика у меня ответ получился иной.
Когда все различны всего таких $C_6^3$, так как порядок для нас не важен.
Когда только 2 различных всего $C_6^2+C_6^2$
Когда все одинаковые то всего $6$ случаев.
В итоге получается $C_6^3+2C_6^2+C_6^1=56$
У меня такой ответ получился.... а почему у Вас другой? Может быть я Вас неправильно понял

[PAV]

Эта задача сводится к одной из классических урновых схем. Прочитайте об этом здесь (там и про кости тоже есть) и подумайте, как свести Вашу задачу к подходящей урновой схеме.

[serg2]

Спасибо, PAV - разобрался!

[Whitaker]

У Вас есть три кости и на каждой из них есть цифры $\{1,2,\dots,6\}$.
Как Вы получаете $216$ комбинация?
$216$ - это общее число комбинаций.
Бросая первую кость у вас имеется всего $6$ способов, бросая вторую кость также $6$ способов и наконец-то бросая третью кость тоже $6$ способов.
Для каждого первого броска существует $6$ бросков, а для каждого второго броска существует $6$ бросков. Всего $6\times 6 \times 6=216$

-- Сб янв 14, 2012 19:39:18 --

serg2 в сообщении #526826 писал(а):

Спасибо, PAV - разобрался!

Если разобрались, то напишите что Вы получили?

[serg2]

Whitaker в сообщении #526814 писал(а):

serg2
Когда у нас всего 3 кубика у меня ответ получился иной.
Когда все различны всего таких $C_6^3$, так как порядок для нас не важен.
Когда только 2 различных всего $C_6^2+C_6^2$
Когда все одинаковые то всего $6$ случаев.
В итоге получается $C_6^3+2C_6^2+C_6^1=56$
У меня такой ответ получился.... а почему у Вас другой? Может быть я Вас неправильно понял

Наводка PAV - хоть и сомнительна - но подтверждает мою цифру, полученную простым пересчетом выпадающих комбинаций.
(благо, любая таблица реальных исходов до 1000 составляется быстро )

Пока мучаюсь в сомнениях от полученных результатов.

56 цифра интуитивно маловатая для исходов трех кубиков 6x6x6

Да - ПРИ ОДНОМ БРОСАНИИ N КОСТЕЙ - получаем N*(N раз) комбинаций их выпадения

По крайней мере это подтверждается первыми тремя итерациями

Остается дорешить задачу с дублирующими комбинациями и нахождением чистых цифровых комбинаций

[Whitaker]

согласен PAV дал хорошую подсказку. Я сам давно не читал комбинаторику поэтому забыл кое-какие факты и освежил знания

[arseniiv]

serg2, у вас мы не только бросаем их одновременно, но потом и выстраиваем в ряд (судя по вашим записям). Вот тут исходы и множатся.

[serg2]

arseniiv в сообщении #526850 писал(а):

serg2, у вас мы не только бросаем их одновременно, но потом и выстраиваем в ряд (судя по вашим записям). Вот тут исходы и множатся.

Нет - после ОДНОГО выбрасывания кубики никак не составляются. Рассматриваем хаотичное их состояние - и поэтому получаем по 2 решения - чистые, неповторяющиеся числовые комбинации и повторяющиеся физические - то есть на разных кубиках мы наблюдаем одинаковые комбинации цифр. Соглашусь, что такое объяснение навевает мысль о выстраивании кубиков - но думаю теперь понятно, что я имел ввиду.

Хотя, на примере из большего количества кубиков меня гложут сомнения - как высчитывать физическое количество дублирующих
состояний одной цифровой комбинации - например бросили 5 кубиков - выпало три пятерки, тройка и четверка - это одна цифровая комбинация, которая физически будет повторятся на разных кубиках

5-5-4-3-5
5-4-3-5-5
4-3-5-5-5
3-5-5-5-4
5-5-5-4-3

4-5-5-5-3
3-5-5-5-4
3-4-5-5-5
5-5-5-4-4
...............

[arseniiv]

А вот это тогда что?:

serg2 в сообщении #526806 писал(а):

(типа 6-6-2 / 6-2-6 / 2-6-6)

-- Сб янв 14, 2012 22:56:09 --

Во всяком случае, здесь

serg2 в сообщении #526806 писал(а):

Для сочетаний из трех кубиков - имеем - 126 чистых исходов и 216 с тройными дубляжами (типа 6-6-2 / 6-2-6 / 2-6-6)

что-то не так.

-- Сб янв 14, 2012 23:05:28 --

Whitaker в сообщении #526814 писал(а):

Когда только 2 различных всего $C_6^2+C_6^2$

Разве не просто $C_6^2$? Кидаем два разных и последний дублируем, при этом никакого нового разнообразия не появляется. Итого $C_6^3 + C_6^2 + C_6^1 = 41$.

[serg2]

чуть выше про выстраивание и ряды пояснил