2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 definite integral
Сообщение14.01.2012, 16:53 


30/11/10
227
If $\alpha,\beta,\gamma,\delta >0$

Then prove that $\displaystyle \int_{e^{\gamma}}^{e^{\delta}}\left(f(x^{\beta})-f(x^{\alpha})\right)\frac{dx}{x\ln (x)}=\int_{e^{\alpha}}^{e^{\beta}}\left(f(x^{\delta})-f(x^{\gamma})\right)\frac{dx}{x\ln (x)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: definite integral
Сообщение14.01.2012, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Let $h(x)= \int \frac {f(e^x)} x \, dx$ - antiderivative of $\frac {f(e^x)} x$. Then $\frac {dh} {dx} = \frac {f(e^x)} x$ and, for any $\theta > 0, \, x > 0$: $\frac d {dx} \, h(\theta \ln x) = \frac {f(e^{\theta \ln x})} {\theta \ln x} \frac {\theta} x = \frac {f(x^{\theta})} {x \ln x}$. So $\int \frac {f(x^{\theta})} {x \ln x} \, dx = h(\theta \ln x)$ and $$\int_{e^{\gamma}}^{e^{\delta}}\left(f(x^{\beta})-f(x^{\alpha})\right)\frac{dx}{x\ln (x)} = \int_{e^{\gamma}}^{e^{\delta}} f(x^{\beta}) \frac{dx}{x\ln (x)} \; - \; \int_{e^{\gamma}}^{e^{\delta}} f(x^{\alpha}) \frac{dx}{x\ln (x)} = h(\beta \delta) - h(\beta \gamma) - h(\alpha \delta) + h(\alpha \gamma).$$ The last expession is symmetric over substitution $(\alpha, \beta) \leftrightarrow (\gamma, \delta)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: definite integral
Сообщение15.01.2012, 12:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$$F(\alpha,\beta)\equiv\int\limits_{\gamma}^{\delta}\big(f(e^{\alpha t})-f(e^{\alpha t})\big)\,\dfrac{dt}t=\Big[?\Big]=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\big(f(e^{\gamma t})-f(e^{\delta t})\big)\,\dfrac{dt}t\equiv G(\alpha,\beta);$$
$$\dfrac{\partial f(e^{\alpha t})}{\partial\alpha}=\dfrac{t}{\alpha }\cdot\dfrac{\partial f(e^{\alpha t})}{\partial t};$$
$$\dfrac{\partial F(\alpha,\beta)}{\partial\alpha}=\dfrac1{\alpha}\int\limits_{\gamma}^{\delta}\dfrac{\partial f(e^{\alpha t})}{\partial t}\,dt=\dfrac1{\alpha}\big(f(e^{\alpha\delta})-f(e^{\alpha\gamma})\big)\equiv\dfrac{\partial G(\alpha,\beta)}{\partial\alpha}.$$
Этого достаточно, т.к. $F(\beta,\beta)\equiv G(\beta,\beta)\equiv0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: definite integral
Сообщение17.01.2012, 05:16 


30/11/10
227
thank dave, ewert

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group