Ряды

[трапезун]

Пожалуйста, помогите решить срочно

Исследовать на сходимость и найти сумму ряда

а) $\sum_{k=1}^\infty\sin{(\pi\sqrt{k^2+1})}$;

б) $\sum_{k=1}^\infty\ln\frac{1}{\cos{\frac{1}{k}}}$

Заранее огромное спасибо

[SpBTimes]

а) по Тейлору разложите
б) аналогично

[ИСН]

(б)-то аналогично, да только (а) не аналогично - там надо ещё понять, в какой точке раскладывать.
И в любом случае, "найти сумму" - это ручка от другого чемодана.

[gris]

А в а нельзя использовать признак Лейбница? Снеся аргумент синуса влево?

[SpBTimes]

ИСН
А что там понимать-то. $k$ дёрнуть из-под корня и всё получится.
gris
Ну в итоге так и получится, а можно и сразу ведь, действительно :)

[ИСН]

Ну так это ж надо ещё додуматься, что надо дёрнуть.

[SpBTimes]

ИСН

А вот суммы, и правда, поинтереснее

[ewert]

gris в сообщении #526366 писал(а):

А в а нельзя использовать признак Лейбница? Снеся аргумент синуса влево?

Можно и нужно, только придётся ещё доказывать монотонность (пустячок, конечно, однако забывать о нём всё-таки не стоит).

[gris]

А я о и монотонности подумал. Только не через Тейлора, а через школьное домножение разности корня и $k$ на сопряжённое выражение.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #526397 писал(а):

Только не через Тейлора, а через школьное домножение разности корня и $k$ на сопряжённое выражение.

Через Тейлора, разумеется, не выйдет (т.е. выйдет, но с ненужными мучениями). Домножением на сопряжённое -- да, технически проще всего, но я бы поступил тупее: просто приравнял бы к нулю производную по номеру и сослался на то, что рано или поздно это уравнение иметь корней уж точно не сможет (даже не обращая внимание на то, что этих корней и вовсе нет).

Впрочем, это всё уже изыски.

[nnosipov]

трапезун в сообщении #526319 писал(а):

... и найти сумму ряда

Как-то сомнительно, что суммы этих рядов можно вычислить.

[Whitaker]

nnosipov я тоже так думаю
Исследовать их на сходимость понятное дело, а как найти их суммы мне лично непонятно