2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 производная в гильбертовом пространстве
Сообщение06.01.2012, 23:11 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Не совсем понимаю, как берется. Нужно для метода Ньютона. Например, если $J(u)=||u||^4$, то $J'(u)=4||u||^2u$. Соответственно, со второй производной тоже непонятно. Квадрат вектора там что ли получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение07.01.2012, 11:25 


14/07/10
206
Пространство у вас, наверное, вещественное?
Попробуйте сначала по определению найти производную от $\| u \|^2 = \langle u, u \rangle$. Затем, функционал $J(u)$ можно представить в виде $J(u) = (\langle u, u \rangle )^2$ и чтобы найти его производную можно воспользоваться формулой для производной сложной функции.

Вторая производная тоже без особых проблем считается по определению, попробуйте! (Для её вычисления, кстати, пригодится производная от $\| u \|^2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение07.01.2012, 12:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Spook в сообщении #524025 писал(а):
Соответственно, со второй производной тоже непонятно. Квадрат вектора там что ли получается?

Нет, конечно. И первая производная -- это вовсе не вектор, а функционал; просто в гильбертовом пространстве (особенно вещественном) есть естественный изоморфизм между множеством функционалов и самим пространством. Вторая же производная -- это, соответственно, некая билинейная форма.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение07.01.2012, 21:37 
Аватара пользователя


23/01/08
565
MaximVD писал(а):
Пространство у вас, наверное, вещественное?
Да, вещественное.
MaximVD писал(а):
Попробуйте сначала по определению найти производную от $\| u \|^2 = \langle u, u \rangle$.
$2u$. Дальше пока никак. Можно ли больше не применять определение?
MaximVD писал(а):
Вторая производная тоже без особых проблем считается по определению, попробуйте! (Для её вычисления, кстати, пригодится производная от $\| u \|^2$).
А разве нельзя производную от производной?
ewert писал(а):
И первая производная -- это вовсе не вектор, а функционал
А разве не градиент? Вторая производная - это оператор, насколько я понял. Вот на что он действует в методе Ньютона?

Я думал, сначала можно все через сложные функции (по заданию), без определений:
$(||u||^4)'=((||u||^2)^2)'=2||u||^2(||u||^2)'=4||u||^2u$
$(4||u||^2u)'=4(2u^2+||u||^2)=12||u||^2$
Как этим оператором на что-то подействовать - непонятно:) Это неправильно, скорее всего. В идеале хотелось бы получить вторую производную через сложные функции, без определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение07.01.2012, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Spook в сообщении #524352 писал(а):
Как этим оператором на что-то подействовать - непонятно:)

Куда-то единичная матрица подевалась. Первая производная правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение07.01.2012, 22:34 


14/07/10
206
Пусть есть функционал $I(u) = \langle u, u \rangle$. Считаем его производную
$$
I(u + h) - I(u) = \langle u + h, u + h \rangle - \langle u, u \rangle =  2 \langle h, u \rangle + \| h \|^2,
$$
откуда получаем, что $I'(u)[h] = 2\langle h, u \rangle$, здесь $u$ - это "точка" в которой вычисляется производная. То есть $I'[u]$ - это линейный функционал, но как написал ewert
ewert в сообщении #524176 писал(а):
просто в гильбертовом пространстве (особенно вещественном) есть естественный изоморфизм между множеством функционалов и самим пространством.

Поэтому удобно отождествлять $I'(u)$ с тем элементом, который "определяет" этот функционал, т.е. с $2u$.

Вторая производная для вашей функции считается точно также
$$
J'(u + h) - J'(u) = 4 \| u + h\|^2 (u + h) - 4 \| u \|^2 u = \text{какие-то преобразования} = A(u)[h] + o( \| h \| ),
$$
где $A(u)$ - это линейный непрерывный оператор ($u$ фиксировано, он линеен по $h$). Тогда, поскольку
ewert в сообщении #524176 писал(а):
Вторая же производная -- это, соответственно, некая билинейная форма.

то вторая производная от вашего функционала (если я не ошибаюсь) будет выглядеть так $J''(u)[h_1, h_2] = \langle A(u) [h_1] , h_2 \rangle$.
К сожалению (или к счастью), так просто, как вы написали, производные функционалов определённых на гильбертовом пространстве обычно не считаются, поэтому приходится по определению считать. К тому же по определению порой полезно посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #524369 писал(а):
Куда-то единичная матрица подевалась.

Извиняюсь, тождественный оператор.

-- Вс янв 08, 2012 01:35:14 --

Любопытно получается. Вторая производная - скалярный оператор, и метод Ньютона совпадает с градиентным методом с специальным выбором шага.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 01:05 
Аватара пользователя


23/01/08
565
мат-ламер писал(а):
Куда-то единичная матрица подевалась. Первая производная правильно.

MaximVD писал(а):
Вторая производная для вашей функции считается точно также $J'(u + h) - J'(u) = 4 \| u + h\|^2 (u + h) - 4 \| u \|^2 u = \text{какие-то преобразования} = A(u)[h] + o( \| h \| )$


У меня получается так: $4u(||u+h||^2-||u||^2)+4||u+h||^2h$
$J''(u)=4u(2u,h)+4(u,u+h)h$
$J''(u)=(8||u||^2,h)+4||u||^2h$
$J''(u)=12||u||^2$, домножив на $I$: $J''(u)=12||u||^2I$. Так?

-- Вс янв 08, 2012 01:10:13 --

мат-ламер писал(а):
Любопытно получается. Вторая производная - скалярный оператор, и метод Ньютона совпадает с градиентным методом с специальным выбором шага.
Может, я глупость скажу, но так должно быть не для квадратичных функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Ерунду написал в предыдущем посту. В первом члене второй производной действительно пропал тождественный оператор. И он выглядит так - $4I||u||^2$. А во втором члене u перемножаются в другом порядке. И он выглядит так - $8uu^T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 10:56 


14/07/10
206
мат-ламер
Что такое $u^T$, если $u$ - это элемент гильбертова пространства?

Spook
Давайте проверим ваши вычисления в простом случае, когда функционал определён на $R^n$. Тогда $J(u) = (u_1^2 + \ldots + u_n^2)^2$, здесь $u = (u_1, \ldots, u_n)$. Всё-таки матрица вторых производных в этом случае не равна $12 \| u \|^2 I$.

Вы правильно начали
Spook в сообщении #524407 писал(а):
У меня получается так: $4u(\| u + h \| ^2 - \| u \|^2)+4\|u+h\|^2 h$

И правильно выписали первое слагаемое во второй производной
$J''(u)[h] = 4(2u, h)u + 4(u, u + h) h$,
но второе слагаемое выписано неверно, потому что оно не линейно по $h$. Второе слагаемое в приращении преобразовывается так
$$
4\| u + h \|^2 h = 4\|u\|^2 h + 8 \langle u, h \rangle h + 4\| h \|^2 h = 4\| u \|^2 h + o(\| h \|).
$$
И самая главная ошибка: $4\langle 2u, h \rangle u \ne \langle 8 \| u \|^2, h \rangle$. В левой части стоит вектор из гильбертова пространства, а в правой непонятно что, потому что скалярно умножать можно только векторы гильбертова пространства, но никак не число на вектор. Выражение $\langle 2u, h\rangle u$ уже никак не упростить.

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
MaximVD в сообщении #524484 писал(а):
мат-ламер
Что такое $u^T$, если $u$ - это элемент гильбертова пространства?

Извиняюсь, когда писал думал думал про конечномерное пространство. В конечномерном случае ответ такой $J''(u)=4I||u||^2+8uu^T$. Как выглядит вторая производная в гильбертовом пространстве мне сказать трудно. Второй (квадратичный) член ряда Тейлора выглядит так - $(4||u||^2h+8(u,h)u,h)/2$. Можно (и надо ли) представлять это в виде $(A,h)h/2$ (где $A$ линейный оператор) - я не знаю. Пойду почитаю определение второй производной у Алексеева (ОУ) или у Зорича.

-- Вс янв 08, 2012 13:50:57 --

Любопытно, а как записывается метод Ньютона в гильбертовом пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: производная в гильбертовом пространстве
Сообщение08.01.2012, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
У меня такое мнение, что в бесконечном гильбертовом пространстве применять метод Ньютона не стоит. Лучше бесконечномерную задачу аппроксимировать конечномерной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group