2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 теорема о факторизации для линейных пространств
Сообщение03.01.2012, 11:21 


10/02/11
6786
$\xymatrix{E\ar[rd]_B\ar[rr]^{A}&&{A(E)\subseteq W}\ar[ld]^{C}\\&V}$
$E,W,V$ -- линейные пространства; $A,B$ -- линейные операторы

Утв. Предположим, что $\ker A\subseteq\ker B$. Тогда найдется линейный оператор $C:A(E)\to V$ такой, что $B=CA$.

Доказательство. Определим оператор $C$ следующим образом. $Cz=By$, где $y$ таков, что $Ay=z$.
Это определение корректно в том смысле, что значение $Cz$ не зависит от выбора $y\in E$. Действительно, пусть найдется еще $y'$ такой, что $Ay'=z$, но тогда $y-y'\in\ker A\subseteq\ker B$, а значит $By=By'$. ЧТД

Следствие. Пусть $f,f_1,\ldots,f_n:E\to \mathbb{R}$ -- линейные функционалы и $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$. Тогда $f=c_1f_1+\ldots+c_nf_n$, $c_i$ -- некоторые константы.

Действительно, рассмотрим оператор $F:E\to\mathbb{R}^n$ заданный формулой $F(x)=(f_1(x),\ldots,f_n(x))^T$. Очевидно, $\ker F=\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f.$
Следовательно, в силу Утв. найдется линейный функционал $C:F(E)\to\mathbb{R}$ такой, что $f=CF$.

Продолжим функционал $C$ с образа $F(E)$ на все пространство $\mathbb{R}^n$. Получим линейный функционал на $\mathbb{R}^n$ это просто матрица-строка. Соответственно,
$$CF=(c_1,\ldots,c_n)(f_1,\ldots,f_n)^T.$$ ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема о факторизации для линейных пространств
Сообщение03.01.2012, 14:29 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich, тема находится в разделе вопросы преподавания. Я правильно понимаю, что Вы хотите обсудить не достаточно подробное изложение материала в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000.?

Полностью с Вами согласен: там не только не достаточно (на мой взгляд) подробно изложены п. 2.3.8 и п.2.3.12, там даже определение коммутативной диаграммы даётся, как это ни странно, на примере (в пункте 2.3.3).

Благодарю Вас за подробное разьяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема о факторизации для линейных пространств
Сообщение03.01.2012, 14:35 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #522543 писал(а):
Oleg Zubelevich, тема находится в разделе вопросы преподавания. Я правильно понимаю, что Вы хотите обсудить не достаточно подробное изложение материала в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.-3 изд. испр. - Новосибирск: Издательство Ин-та математики 2000.?

Тема находится в вопросах преподавания, потому, что это чисто учебный материал. Если угодно, в ней предлагается способ изложения теоремы о множителях Лагранжа. Учебник Кутателадзе недостаточно подробным не считаю. Считаю, что это один из лучших русскоязычных курсов функана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group