2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверьте задачу? решение сравнения
Сообщение02.01.2012, 13:10 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Проверьте, пожалуйста, решение примера. Есть сомнения, в одном месте там. Надеюсь, размер сообщения не отпугнет никого. :-)
$$x^2 \equiv 211\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$$
I. Решим три сравнения таких: $x^2 \equiv 211\pmod{3^2}$, $x^2 \equiv 211\pmod{5}$, $x^2 \equiv 211\pmod{7}$.
1). $x^2 \equiv 211\pmod{3^2}\rightarrow x^2 \equiv 4\pmod{3^2}$.
Сначала решим сравнение это по модулю 3:
$x^2 \equiv 1\pmod{3}\rightarrow x\equiv\pm1\rightarrow x=\pm(3k_1+1)$.
Теперь решим сравнение по модулю 9:
$x^2\equiv 4\pmod{9}\rightarrow 6k_1\equiv 3\pmod {9}\rightarrow k_1=3m+2$.
Подставим это в полученное нами ранее выражение для $x$:
$x=\pm(1+9m+6) \rightarrow x\equiv\pm 7 \pmod{9}\ightarrow x\equiv\pm 2 \pmod{9}$
2). $x^2 \equiv 211\pmod{5}\rightarrow x\equiv\pm1\pmod{5}$
3). $x^2 \equiv 211\pmod{7}\rightarrow x\equiv\pm1\pmod{7}$
II. Отлично, решили сравнения, теперь составим систему:
$$
\begin{cases}
x\equiv\pm1\pmod{5}\\
x\equiv\pm1\pmod{7}\\
x\equiv\pm2\pmod{9}
\end{cases}
$$
С помощью китайской теоремы найдем половину решений; а оставшиеся решения будут противоположны найденным по знаку. Так как всего 8 решений, то найдем 4 каких-нибудь решения. Например, такие:
1). $x\equiv1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
2). $x\equiv-1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
3). $x\equiv1\pmod{5}\equiv-1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
4). $x\equiv-1\pmod{5}\equiv-1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
Чтобы всё это решить, нам придется использовать вычисление мультипликативно обратных чисел, давайте вычислим их заранее:
$7^{-1}\equiv3\pmod{5},7^{-1}\equiv4\pmod{9}, 3^{-2}\equiv4\pmod{5}, 3^{-2}\equiv4\pmod{7}, 5^{-1}\equiv3\pmod{7}, 5^{-1}\equiv2\pmod{9}$.
Приступим к решению.
1). $x\equiv1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
$x=1\cdot7\cdot9(7^{-1}\cdot3^{-2}\pmod{5}) + 1\cdot5\cdot9(5^{-1}\cdot3^{-2}\pmod{7})$ + $2\cdot5\cdot7(7^{-1}\cdot5{-1}\pmod{9}) = 63\cdot2+45\cdot5+70\cdot8\equiv911\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
Точно так же найдем остальные 3 решения:
2). $x\equiv659\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
3). $x\equiv209\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
4). $x\equiv461\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
Таким образом, ответ таков:
1). $x\equiv\pm911\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
2). $x\equiv\pm659\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
3). $x\equiv\pm209\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
4). $x\equiv\pm461\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$

Правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверьте задачу? решение сравнения
Сообщение02.01.2012, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Верно, но уж очень занудно.
1) По каждому из модулей 5, 7, 9 два решения очевидны, а больше быть не может.
2) Не надо аналогично - лучше заменить $\pm 1, \pm 1, \pm 2 $ на параметры $a,b,c$, откуда по КТО легко получим
$x\equiv 14a-15b+4c \pmod{315}$. Остаётся перебрать 8 возможностей и ответы по модулю 245 можно поменьше выбрать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group