"Казанская" задача (кубок памяти Колмогорова)

[Ktina]

Давно такой красивой задачи не встречала.
В шестизначном числе одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные - разными (инъекция, типа ).
Получилось слово КАЗАНЬ.
На какое наибольшее число последовательных натуральных чисел оно может делиться?

[MrDindows]

Допустим оно делится на 12 или больше последовательных чисел, значит оно наверняка делится на 8, 9, 7, 11, 5.
По признакам делимости:
Последняя цифра - 0
АН0 делится на 8
К+2*А+З+Н делится на 9
К+З+Н-2*А делится на 11
3*Н-З-А-2*К делится на 7

Система из 4х линейных сравнений, с 4 переменными, по логике должна иметь решение, а значит существуют такие числа, делящиеся на 12 последовательных чисел (1, 2, 3 ... 12) . Но для достоверности (ведь буквы, то бишь цифры, ограничены и не равны между собой) , пожалуй, лучше их найти=)
Из признаков на 9 и на 11, получаем $4A=9k-11n$, А либо 4, либо 9. Дальше можно перебирать, можно решать системы, но я начал путаться, мне стало лень, я написал 5 строчек кода, и получил искомые числа: $249480, 498960, 942480.$

На 13 последовательных чисел делится не может, так как $5 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13=360360 $

[Ktina]

MrDindows в сообщении #521756 писал(а):

Допустим оно делится на 12 или больше последовательных чисел, значит оно наверняка делится на 8, 9, 7, 11, 5.
По признакам делимости:
Последняя цифра - 0
АН0 делится на 8
К+2*А+З+Н делится на 9
К+З+Н-2*А делится на 11
3*Н-З-А-2*К делится на 7

В принципе, признаки делимости тут вообще ни при чём.

Среди любых n последовательных натуральных чисел хотя бы одно делится на n, хотя бы одно - на n-1, хотя бы одно - на n-2 и так далее. Таким образом, если КАЗАНЬ делится на n последовательных натуральных чисел, то оно делится на НОК(1, 2, ..., n).

Значит, если число КАЗАНЬ делится на 17 (или более) последовательных натуральных чисел, то оно больше, чем шестизначное - противоречие.

Поскольку НОК(1, 2, ..., 13)=360360, ответ будет не более 12, так как 360360 и 720720 - не могут быть КАЗАНЬ, у них вторая и четвёртая цифры разные.

Пример для 12 Вы уже привели: 249480, это НОК(1, 2, ..., 12), умноженный на 9.

[Lunatik]

Раз уж речь зашла о ребусах...

Задача с района этого года:
"Сумма цифр числа АЛЕКСАНДРА равна 57, а сумма цифр числа МИХАИЛ – 41. Известно, что одна из цифр представлена двумя разными буквами. Найти эту цифру, а также две буквы, которыми она зашифрована."

Задача примечательна тем, что это единственная задача, которая была предложена школьником (!), который непосредственно и участвует в олимпиаде (правда школьник-то с 11 класса, а эта задача была в девятом, одиннадцатому придумали тяжелее, более корявую, но изюминка осталась та же).