2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 комплексные числа
Сообщение06.02.2007, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Докажите, что $z\in\mathbb{C}$ удовлетворяет условию $|z|-Re z\leqslant\frac12$ тогда и только тогда, когда найдутся комплексные числа $z_1,\ z_2$, что $z=z_1z_2$ и $|z_1-\overline z_2|\leqslant1$. ($\overline z_2$ - это $z_2$ сопряженное)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 23:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Для доказательства необходимости можно просто взять $z_1 = z_2 = \sqrt{z}.$

Дело в том, что если $z = r e^{i\phi},$ то
$\frac{1}{2} \geq |z| - \mathop{\bf Re} z = r - r\cos\phi = 2r\sin^2\frac{\phi}2.$
Откуда
$| \sqrt{r}\sin\frac{\phi}2 | \leq \frac{1}{2}.$
Поэтому
$|\sqrt{z} - \overline{\sqrt{z}}| = | 2 \mathop{\bf Im} \sqrt{z} | = | 2 \sqrt{r}\sin\frac{\phi}2 | \leq 1.$

Добавлено спустя 11 минут 6 секунд:

Теперь достаточность. Пусть $z_k = r_k e^{i\phi_k}$ для $k=1,2$ и $z=z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1+\phi_2)}.$

Тогда
$1 \geq |z_1 - \overline{z_2}|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\phi_1+\phi_2)$
и поэтому
$|z| - \mathop{\bf Re} z = r_1 r_2 - r_1 r_2\cos(\phi_1 + \phi_2) \leq r_1 r_2 -  \frac{r_1^2 + r_2^2 - 1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{(r_1-r_2)^2}{2} \leq \frac12.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2007, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Я решал так. Условие $|z_1-\overline z_2|\leqslant1$ означает, что $z_2=\overline z_1+\varepsilon,\ |\varepsilon|\leqslant1$. Соответственно, $z=|z_1|^2+\varepsilon z_1$. Поэтому второе условие можно переписать в виде
$$\min_{x\geqslant0}(|z-x|^2-x)\leqslant0$$
Стандартная задача на квадратный трехчлен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group