Как понять. На идейном уровне. Возьмём хороший случай, когда все функции в условии (уравнений связи может быть несколько) дважды дифференцируемы.
По необходимому условию в точке
экстремума для функции Лагранжа имеем
. Отсюда находим точки, подлежащие проверке.
В такой точке
при условии, что смещаемая точка удовлетворяет уравнениям связи.
Расписываем приращение по формуле Тейлора
Нам нужен знак
. Первое слагаемое - это квадратичная форма.
При безусловном
экстремуме
. В исследуемой точке в достаточно малой её окрестности о малым можно пренебречь в сранении с первым слагаемым в следующих случаях:
1) Квадратичная форма положительно или отрицательно определена, тогда знак приращения положителен или соответственно отрицателен, следовательно имеем минимум или максимум соответственно.
2) Квадратичная форма знакопеременная, тогда знак приращения в любой окрестности зависит от направления смещения и
экстремума нет.
Полуопределённый случай требует индивидуального подхода. Можно лишь сказать, ч то в случае положительной полуопределённости нет максимума, а отрицательной - минимума. Обычно оставшаяся гипотеза проверяется "шевелением" точки и частенько отвергается шевелением в направлении, перпендикулярном к направлению с нулевым собственным значением.
Для условного
экстремума нужна корректировка. Поскольку смещения не произвольны, то часть дифференциалов переменных выражаем из условий через остальные (погрешности уйдут в о малые) и получаем квадратичную форму от
независимых дифференциалов. Далее по предыдущему пункту.
Часто допускаемая ошибка. Знак квадратичной формы исследуется без учёта уравнений связи. Это прокатывает только в случае, если она положительно или отрицательно определена. В случае полуопределённости или знакопеременности может привести к ошибке.
-- Сб дек 24, 2011 12:47:15 --(Оффтоп)
Длинный пост - окошечко дёргается, поэтому лучше добавлю
Примеры. 1)
, квадратичная форма без учёта связи знакопеременна, а с учётом
. Тогда для
исследование успешно завершается, а
- обломный случай. Он требует индивидуального подхода.
2)
, квадратичная форма без учёта связи положительно полуопределена. Тогда минимум ещё возможен, но максимума уже точно нет. Есть минимум или нет, определится (или обломится) с учётом связи. Тогда
и имеем минимум в случае
. Обломный случай
опять требует индивидуального подхода.
23.12.2011, 17:42 
при данном уравнении связи:
![$\[L[x,y,z] = \sin x\sin y\sin z + \lambda (x + y + z - \frac{\pi }{2})\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b859c4dc66f07b343c191324e86c062882.png "$\[L[x,y,z] = \sin x\sin y\sin z + \lambda (x + y + z - \frac{\pi }{2})\]$")
![$
\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = \cos x\sin y\sin z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = \sin x\cos y\sin z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial z}} = \sin x\sin y\cos z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda }} = x + y + z - \frac{\pi }{2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/9086333d2b7013681ccb517a81ea2e2b82.png "$
\[\left\{ \begin{gathered}
\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = \cos x\sin y\sin z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = \sin x\cos y\sin z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial z}} = \sin x\sin y\cos z + \lambda = 0 \hfill \\
\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda }} = x + y + z - \frac{\pi }{2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]$")
![$\[x = y = z = \frac{\pi }{6},\lambda = - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/2/572b87fb0a1f828ed52d43afb2841f0482.png "$\[x = y = z = \frac{\pi }{6},\lambda = - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\]$")
![$\[{d^2}L = - \sin x\sin y\sin zd{x^2} - \sin x\sin y\sin zd{y^2} - \sin x\sin y\sin zd{z^2} + 2\cos x\cos y\sin zdxdy + 2\cos x\sin y\cos zdxdz + 2\sin x\cos y\cos zdydz\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/b/afbb4b84d3ceb2fe5d401b19d1e2e8ca82.png "$\[{d^2}L = - \sin x\sin y\sin zd{x^2} - \sin x\sin y\sin zd{y^2} - \sin x\sin y\sin zd{z^2} + 2\cos x\cos y\sin zdxdy + 2\cos x\sin y\cos zdxdz + 2\sin x\cos y\cos zdydz\]$")
?
.