2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простая задачка
Сообщение05.02.2007, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Эта задачка с той же Олимпиады, что и фальшивые монеты
Очень простая, но ... :D

Пусть натуральное n таково, что каждое из трёх чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Доказать, что n делится на куб некоторого своего простого делителя.

P.S. На разборе чувствовал себя неуютно, ожидая каверзного вопроса. Обошлось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2007, 18:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если бы это было не так, то n был бы точным квадратом безквадратного нечётного числа, т.е. $n=(p_1p_2..p_k)^2$ p_i различные нечётные простые числа. В разложении 2 отсутствует, так как иначе n+2 делится на 2, но не делится на 4. Тогда n+1=2(mod 8) не делится на квадрат 2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2007, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
bot писал(а):
P.S. На разборе чувствовал себя неуютно, ожидая каверзного вопроса. Обошлось.

Рискну предположить, что "каверзный вопрос" звучит примерно так: "привести пример такого числа $n$". Со всеми вытекающими.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2007, 19:44 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Странно Вы выбрали подфорум, bot. Перемещаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение05.02.2007, 21:37 


23/01/07
3415
Новосибирск
bot писал(а):
Пусть натуральное n таково, что каждое из трёх чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Доказать, что n делится на куб некоторого своего простого делителя.

Если я правильно понял условие задачи, то:
1. Т.к. все указанные числа делятся на квадрат любого своего простого делителя, соответственно, каждое из чисел - есть произведение, как минимум, квадратов своих простых делителей.
2. Из трех чисел одно или два должно(ны) быть четным(ми). Если n - четное и делится на 4(квадрат 2-х), то n+2 не может делиться на 4 и наоборот, следовательно, четное n+1 и оно должно делиться на 4. Можно записать n=3 mod(4), (n+1) = 0 mod(4), (n+2) = 1 mod(4).
3. Т.к. квадраты нечетных чисел по основанию 4 могут иметь остаток только 1mod(4), то n - не может быть произведением только квадратов своих простых делителей. Учитывая выделенное в п.1, делаем вывод, что, как минимум, один делитель представлен в n, как минимум, 3-ей степенью.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 08:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
RIP писал(а):
Рискну предположить, что "каверзный вопрос" звучит примерно так: "привести пример такого числа $n$". Со всеми вытекающими.

Именно. Нет проблем построить бесконечное множество пар последовательных чисел, удовлетворяющих условию. Скажем, устроят пары $(8y^2, x^2)$ из уравнения Пелля $x^2-8y^2=1$, а вот по поводу троек не уверен, что их есть.
Хотя, чем чёрт не шутит, я ведь не пробовал комбиначить два Пеллеобразных уравнения.

Сначала поместил задачку в олимпиадный раздел, а потом подумав, стёр и поместил в дискуссионные и вот она снова здесь. А в дискуссионные поместил потому, что задачка-то тривиальная и вопрос у меня теперь следующий: стоит ли давать подобные задачи на Олимпиаде?
Это ведь всё-таки не изучение нечётных совершенных чисел.
И зачем эти тройки, скажите? Да всего лишь навсего, чтобы отмести случай чётного n. Право лучше бы сформулировать для пар, а чётный случай убрать менее мощным способом, да хотя бы и просто задать в условии, что n нечётно - ну не убыло бы от задачи вычеркивание совсем уж примитивного случая. А с примером непустоты тут всё-таки полегче было бы: $n=26^2-1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group