2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение25.11.2011, 20:26 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Известно, что в уравнении:
$$x^4+px^3+qx^2+rx+t=0$$
четыре корня могут образовывать только три формы:
$$\begin{cases}
y_{1}=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\\
y_{2}=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\qquad\eqno (1)\\
y_{3}=x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}
\end{cases}$$
которые образуют кубическое уравнение:
$$y^3-qy^2+\left( \operatorname{pr}-4t\right)y-\left(t\left( p^2-4q\right)+r^2 \right)=0$$
называемое резольвентой уравнения четвертой степени.
Решая систему (1) найдем корни уравнения четвертой степени:
$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(\frac{-p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}+ \sqrt{\frac{p^2}{2}-q-y-\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}}}\right)$$\\$$x_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{-p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}-\sqrt{\frac{p^2}{2}-q-y-\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}}} \right)\\$$
$$x_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{-p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}+\sqrt{\frac{p^2}{2}-q-y+\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}}} \right)$$\\$$x_{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{-p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}-\sqrt{\frac{p^2}{2}-q-y+\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{p^2}{4}-q+y}}} \right)\\$$
Где y-любой корень кубической резольвенты, а $\Delta$ равна:
$$\Delta =\frac{1}{8}p^3-\frac{1}{2}pq+r$$
Например:
$x^4-x^3-1=0\qquad\eqno (2)$
Резольвента будет $\left(p=-1,\: q=0,\: r=0\right)$: $y^3+4y+1=0$
Действительный корень которой можно выразить:
$-\frac{1}{6}\sqrt[3]{108+12\sqrt{849}}+\frac{8}{\sqrt[3]{108+12\sqrt{849}}}=-0,246266172...$
либо:
$\frac{-4}{\sqrt{3}}\sh\left(\frac{1}{3}\operatorname{arsh\left(\frac{3\sqrt{3}}{16} \right)} \right)=-0,246266172...$
либо:
$-2\sum\limits_{k=0}^{7}\binom{3k}{k}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k+1\right)8^{2k+1}}=-0,246266172...$

Обозначив за $y=-0,246266172...$, находим $\Delta$, а затем и корни уравнения (2):
$\Delta =\frac{-1}{8}$
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+y}+ \sqrt{\frac{1}{2}-y-\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{1}{4}+y}}}\right)=1,38027756...$
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+y}-\sqrt{\frac{1}{2}-y-\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{1}{4}+y}}} \right)=-0,8191725...\\$
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+y}+\sqrt{\frac{1}{2}-y+\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{1}{4}+y}}} \right)=0,21944747...+0,9144736...i$
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+y}-\sqrt{\frac{1}{2}-y+\frac{2\Delta }{\sqrt{\frac{1}{4}+y}}} \right)=0,21944747...-0,9144736...i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение25.11.2011, 20:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vvp_57 в сообщении #508002 писал(а):
Известно, что в уравнении:
$$x^4+px^3+qx^2+rx+t=0$$
четыре корня могут образовывать только три формы:
$$\begin{cases} y_{1}=x_{1}x_{3}+x_{2}x_{4}\\ y_{2}=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\qquad\eqno (1)\\ y_{3}=x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3} \end{cases}$$
Есть ещё резольвента Эйлера, её корни $w_1 = (x_1 + x_2-x_3-x_4)^2$, $w_2 = (x_1-x_2-x_3 + x_4)^2$, $w_3 = (x_1 -x_2 + x_3- x_4)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение25.11.2011, 20:56 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
nnosipov в сообщении #508011 писал(а):
Есть ещё резольвента Эйлера, её корни $w_1 = (x_1 + x_2-x_3-x_4)^2$, $w_2 = (x_1-x_2-x_3 + x_4)^2$, $w_3 = (x_1 -x_2 + x_3- x_4)^2$.

Да, да, конечно. В резольвенте Эйлера(точнее сказать в приведенном уравнении, от которого и находится резольвента Эйлера) и есть один очень нужный параметр,но..., резольвенту Феррари найти проще, согласитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение26.11.2011, 06:14 
Заслуженный участник


21/05/11
897
В самом первом уравнении у ТС нужно поправить на $qx^2$.

Поправил. //АКМ

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение16.12.2011, 13:45 


16/08/05
1146
Vvp_57 в сообщении #508002 писал(а):
либо:
$-2\sum\limits_{k=0}^{7}\binom{3k}{k}\frac{\left(-1\right)^k}{\left(2k+1\right)8^{2k+1}}=-0,246266172...$

Можно подробнее про этот способ решения кубического уравнения?
Ни разу такого не видел; ни в wiki, ни на mathworld.wolfram.com не нахожу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение17.12.2011, 23:22 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
dmd в сообщении #516133 писал(а):
Можно подробнее про этот способ решения кубического уравнения?
Ни разу такого не видел; ни в wiki, ни на mathworld.wolfram.com не нахожу.

Пожалуйста. Прошу прощения за длинный ответ. Сразу приведу несколько вариантов, чтоб избежать общих формул (думаю обобщить будет не трудно):
Для третьей степени
$x^3-x+a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{3k}{k}\frac{a^{2k+1}}{2k+1}$
$x^3+x-a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{3k}{k}\frac{\left(-1\right)^ka^{2k+1}}{2k+1}$
Конечно при условии что $a$ меньше чем $0.38490....=\frac{2}{3\sqrt{3}}$
поскольку иначе ряд будет расходящимся.
Таким же образом можно найти один корень в любом "подобном" уравнении:
$x^5-x+a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{5k}{k}\frac{a^{4k+1}}{4k+1}\qquad\eqno\text{где }\quad\eqno{a}<\frac{4}{5\sqrt[4]{5}}=0.53499...$
Еще
$x^6-x+a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{6k}{k}\frac{a^{5k+1}}{5k+1}\qquad\eqno\text{при }\quad\eqno{a}<\frac{5}{6\sqrt[5]{6}}=0.582....$
Или
$x^{10}+x-a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{10k}{k}\frac{\left(-1\right)^ka^{9k+1}}{9k+1}\qquad\eqno\text{при}\quad\eqno{a}<\frac{9}{10\sqrt[9]{10}}=0.6968....$
Таких формул нет на wiki и на mathworl.wolfram.com, наверное потому что, во первых это все же не общий случай.
Во вторых здесь наблюдается уход от элементарных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение18.12.2011, 14:28 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57 в сообщении #516620 писал(а):
Таким же образом можно найти один корень в любом "подобном" уравнении:
$x^5-x+a=0\qquad\eqno{x}_{1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{5k}{k}\frac{a^{4k+1}}{4k+1}\qquad\eqno\text{где }\quad\eqno{a}<\frac{4}{5\sqrt[4]{5}}=0.53499...$

Вот тут эту формулу обсуждали: http://mathoverflow.net/questions/32099 ... 2261#32261у нас тоже).
Там она выводится с помощью обращения Лагранжа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение18.12.2011, 17:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Можно также рассмотреть задачу "в обратную сторону" - задаться вопросом, корнем какого уравнения является, например, $\sum_{k=0}^{\infty} \binom{tk}{k} a^k$ при заданном целом $t$. Вывод соответствующего уравнения я привел на ArtOfProblemSolving (опять же с помощью обращения Лагранжа). Так для $t=3$ искомое уравнение имеет вид:
$$(27a-4)x^3 + 3x + 1 = 0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение21.12.2011, 23:13 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
maxal в сообщении #516754 писал(а):
Вот тут эту формулу обсуждали: http://mathoverflow.net/questions/32099 ... 2261#32261у нас тоже).
Там она выводится с помощью обращения Лагранжа.

Как раз с этого: и у нас тоже, я и "заболел" биномиальными рядами. Поскольку они дают новое выражение популярного косинуса:
$2\cos \left(\frac{4\pi }{9} \right)=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\binom{3k}{k}\frac{1}{\left(2k+1 \right)27^k}$
Интересно, а как будет выражаться $2\cos \left(\frac{2\pi }{9} \right)$, через биномиальные ряды?
maxal в сообщении #516834 писал(а):
Можно также рассмотреть задачу "в обратную сторону" - ....... Вывод соответствующего уравнения я привел на ArtOfProblemSolving (опять же с помощью обращения Лагранжа). Так для $t=3$ искомое уравнение имеет вид: $(27a-4)x^3 + 3x + 1 = 0.$

Ваше решение maxal, обратной задачи,замечательное, особенно радует общая формула:
$\left(\left(F_t\left(x \right)-1 \right) \right)\left(\left(t-1 \right)F_t\left(x \right)+1 \right)^{t-1}=x\left(tF_t\left(x \right) \right)^t.$
Для куба мне тоже попадалась такое выражение:
$Dx^3-3x-1=0$ где $D$ дискриминант уравнения: $x^3-x+a=0$
Правда путь был несколько иной. Жалко развивать тут эту тему, поскольку очень бы хотелось услышать критических
замечаний по основной теме(уравнение 4-ой степени). Ведь в теме все не так гладко, есть пробелы, проблемы, перескок и недоговоренности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвертой степени. Завершенный Феррари.
Сообщение22.12.2011, 22:10 


25/08/11

1074
Про решения рядами-наверное, это всё-таки перезапись известного решения в гипергеометрических функциях, вряд ли что-то другое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group