2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биективность R-линейного преобразования
Сообщение17.12.2011, 03:21 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Имеется $T(z)=\lambda z+\mu\overline{z}$, где $\lambda, \mu, z$ - комплексные числа. Известно (незадолго была теоремка), что такое преобразование является $\mathbb{R}$-линейным. Нужно доказать, что оно биективно, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$. При этом предлагается НЕ использовать тот факт, что $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$ является определителем $T$.

Разумеется, я поступил наоборот - представил $T$ в виде матрицы два на два и доказал, что её определитель, в условиях задачи, таки равен выражению выше. Понятно, что матрица невырождена, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$.

Помогите, пожалуйста, найти другой способ доказать требуемое. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Биективность R-линейного преобразования
Сообщение17.12.2011, 03:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
$w=\lambda z+\mu\overline{z}$, тогда $\overline w=\overline\lambda \overline z+\overline\mu z$.
Решаем относительно $z$, как в шестом классе:
$\begin{cases}\lambda z+\mu\overline{z}=w\\ \overline\mu z+\overline\lambda \overline z=\overline w\end{cases}$
Хочешь не хочешь, а в знаменателе будет $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$, даже если я ничего не знаю о матрицах и определителях. Но далеко от Вашего способа уйти, увы, не получилось. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Биективность R-линейного преобразования
Сообщение17.12.2011, 04:06 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
JMH в сообщении #516394 писал(а):
Имеется $T(z)=\lambda z+\mu\overline{z}$, где $\lambda, \mu, z$ - комплексные числа. Известно (незадолго была теоремка), что такое преобразование является $\mathbb{R}$-линейным. Нужно доказать, что оно биективно, когда $\lambda\overline{\lambda}\neq\mu\overline{\mu}$. При этом предлагается НЕ использовать тот факт, что $\lambda\overline{\lambda}-\mu\overline{\mu}$ является определителем $T$.

Требование, мягко говоря, странное. НЕЛЬЗЯ употреблять слово "определитель"? Ну, так обойдемся без него.

Пусть $T(z)=0$ для некоторого $z\ne 0$. Тогда $\lambda z+\mu\overline{z}=0$. Взяв сопряженное, получаем $\overline{\lambda} \overline{z}+\overline{\mu}z=0.$ Имеем систему однородных уравнений относительно $z,\overline{z}$, у которой есть ненулевое решение и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биективность R-линейного преобразования
Сообщение17.12.2011, 04:13 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Т.е. идея в том, чтобы составить систему из данного и сопряжённого ему преобразования. Идея для меня новая и, на мой взгляд, замечательная.

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group