Задача Штума-Лиувилля

[Zorro!]

Решить задачу Штума-Лиувилля
${\Delta\cdot U}=\lambda\cdot U$

$U_{r=a}=0$
Записать условие ортогональности собственных функций задачи. Найти ортонормированную систему собственных функций.

-- 12.12.2011, 17:39 --

Проблема такая: не могу разделить переменные. Если бы в правой части 0 стоял, тогда бы все легко было (ну для меня по крайней мере), а так я дальше второй строчки в решении не могу продвинуться(((

[V.V.]

Перейдите к полярным координатам.

[AlexValk]

Надо так понимать, что Ваша задача трехмерная? Тогда вот схема разделения переменных.
Пишите оператор Лапласа в сферических координатах (в двумерном случае все аналогично - но попроще - используется полярная система координат вместо сферической) [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_Лапласа[/url]:
$ \Delta U = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial U}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial U}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2}. $
Для разделения переменных подставляете в свое уравнение "анзац" $U(r,\theta,\varphi)=A(r)B(\theta)C(\varphi)$ и делите левую и правую часть на $A(r)B(\theta)C(\varphi)$. Получаете сумму трех функций одной переменной (каждая от своей переменной $r, \theta, \varphi $) тождественно равную константе: $F_1(r)+F_2(\theta)+F_3(\varphi)=\lambda$. Отсюда следует, что каждая из этих трех функций равна константе:
$F_1(r)=\lambda_1$, $F_2(\theta)=\lambda_2$, $F_3(\varphi)=\lambda_3$.
Решаете каждое из этих трех получившихся обыкновенных дифференциальных уравнений. Для первого из них используете граничное условие $\left.A(r)\right|_{r=a}=0$. Учитываете, что функции $B(\theta)$ и $C(\varphi)$ периодические ($0\leq \theta\leq \pi$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$). Кроме того для первого и второго уравнения используйте условие конечности решений в точке $r=0$.
Разбираетесь с возможными вариантами значений $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ (с учетом $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\lambda$).
В итоге для $B(\theta)$ и $С(\varphi)$ получаются дискретные наборы функций (в первом случае, связанные с полиномами Лежандра, а во втором - более простые) - сферические функции ([url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Сферические_функции[/url]), а вместе с $A(r)$ - шаровые функци.

[Zorro!]

Странно, но у меня почему то другая формула для разложения Лапласа
$ \Delta U = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial U}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2}. $
т.е. только от двух переменных. Я думаю, что вряд ли это трехмерная задача. И поэтому у меня ${r^2}$ не сокращается никак, и получается, что функция Фи еще и от радиуса зависит.

-- 13.12.2011, 08:29 --

И даже если так, все равно каждую функцию как независимую от других переменных не получается выразить((

[AlexValk]

Значит у Вас думерная задача.
Все точно так же, но со своей спецификой. Тут функции Бесселя возникают.
Это много где разобрано в учебной литературе. См., например http://virlib.eunnet.net/metod_materials/mmf/ раздел 2.2.

[Zorro!]

AlexValk в сообщении #515320 писал(а):

Значит у Вас думерная задача.
Все точно так же, но со своей спецификой. Тут функции Бесселя возникают.
Это много где разобрано в учебной литературе. См., например http://virlib.eunnet.net/metod_materials/mmf/ раздел 2.2.

Спасибо большое, очень помогло)