2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логарифмическое уравнение
Сообщение09.12.2011, 15:51 


09/09/11
7
Всем доброго вечера!

Решал сложную задачу по химии, и задача свелась к решению простого на вид логарифмического уравнения, которое вызвало затруднение в решении задачи. Видно, я позабыл школьный курс математики... а может, мы такого и не решали

Уравнение прилагается

$\ln(y)=y+b$

y - неизвестное, b - некоторая константа

Прошу помочь в решении данного уравнения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение09.12.2011, 16:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Уравнение трансцендентное, в элементарных функциях не решается. В зависимости от $b$ может быть от 0 до 2-х решений (исследовать нахождением промежуточного случая, когда корень один). Уравнение решается численными методами, либо в рядах, либо, быть может, через $W$-функцию (забыл название :-( Ламберта, что-ли (да, она: http://ru.wikipedia.org/wiki/W-%D1%84%D ... 1%82%D0%B0))

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение09.12.2011, 16:15 


19/01/11
718
вы знаете что такое графики функции ....?
если да , то нарисуйте графики функции $\ln x$ и $x+b$ (), потом может что то случится..

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение09.12.2011, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В химии таких уравнений не бывает.
Разве что в сочинительной ("...а молярная масса у него равна числу этажей в том небоскрёбе, из окна которого выпал мужик, который...")

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Численно. Или графически.
Постройте график $\ln y - y$ и посмотрите, в каких точках он равен b. Если ни в одной - Вам не повезло. Если в двух - постарайтесь из содержательных соображений определить, какое решение Вам нужно, или используйте оба. Если в одной - то вот оно, Ваше решение.
Графическая точность может быть достаточна для практических нужд, погрешность построения по сравнению с точностью взвешивания реагентов и т.п. часто пренебрежима (собственно, всё применение номографии на этом стояло). Но если это не так - уточнить численно. По Ньютону, скажем.
$y_{n+1}=y_n - \frac {\ln y_n-y_n-b}{1/y_n-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 09:23 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Вряд ли в химии м.б. отрицательные величины. А график $\ln y-y$ не даёт положительных $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
А химия не позволяет записать уравнение в виде $y=\ln y+b$? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 10:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва

(Оффтоп)

Ну отчего же? Логарифм концентрации какой-нибудь. Вполне себе отрицателен. Химическая кинетика - тоже химия.


-- 10 дек 2011, 10:04 --

bot

В виде $y=\ln y +b$ не позволяет, но не химия. Позволяет в виде $y=-b+ \ln y$
Но что это принципиально меняет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 10:20 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Евгений Машеров в сообщении #513836 писал(а):

(Оффтоп)

Ну отчего же? Логарифм концентрации какой-нибудь. Вполне себе отрицателен. Химическая кинетика - тоже химия.
А $\ln y-y$ что может выражать?
Также $b$ константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 11:10 
Заблокирован


19/06/09

386
ИСН в сообщении #513543 писал(а):
В химии таких уравнений не бывает.
Разве что в сочинительной ("...а молярная масса у него равна числу этажей в том небоскрёбе, из окна которого выпал мужик, который...")

Ну почему же?
К примеру, вещество A может иметь свой период полураспада и через некоторое время превращаться в вещество B. Количество полученного вещества B будет иметь экспоненциальную зависимость от времени. Ну и т.к. мы перешли от основания 0.5 к основанию $e$, имеющее смысл время будет отрицательным.

Ну и допустим также что есть вещество C, которое образуется в линейной зависимости от времени. Ну и после того как количество B будет равно количеству C что-то поизойдет.
Чем не задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Или электрохимия. Логарфмические зависимости там есть. И какая-нибудь сумма или разность перенапряжения, которое выражается через логарифм от плотности тока, с напряжением, по закону Ома пропорциональном току, может быть осмыслена.
Впрочем, не вижу особого смысле критиковать постановку задачи - не зная задачу сколько-нибудь, содержательную критику выстроить затруднительно.
Так что ограничусь тем, что, для уравнения в представленном виде, простого решения нет (решение через функцию Ламберта, может, и удовлетворяет "в замкнутом виде", но уж никак не "простое"), а приближённое решение может быть получено довольно легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #513836 писал(а):
Позволяет в виде $y=-b+\ln y$

Дык и я ровно о том же: уравнение $\ln y-y=b$ неразрешимо при положительной константе $b$, а $y-\ln y=b$ - при отрицательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 15:00 
Аватара пользователя


06/10/11
119
Может попробовать разложить левую часть в ряд тейлора...

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
jetyb в сообщении #513844 писал(а):
Ну и допустим также что есть вещество C, которое образуется в линейной зависимости от времени. Ну и после того как количество B будет равно количеству C что-то поизойдет.
Чем не задача?

Вот это и есть сочинительная задача. В линейной зависимости от времени ничего не образуется. :!: Если только не подгонять линейкой начальный участок другой, несравненно более медленной экспоненты. (Или не экспоненты.) Да, пожалуй, так можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмическое уравнение
Сообщение10.12.2011, 22:21 


25/08/11

1074
Да решение выражается через функцию Ламберта. Или исторически более точно Эйлера-Ламберта. Кажется так, если не ошибся на скорую руку:
$$ y=-W(-\exp(-b)) .$$
Для этой функции есть графики, разложения в ряды, асимптотики-всё что угодно.
Если интересно-есть хорошая книга Сайкова кажется и др., понятная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group