2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 16:47 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Я бы лично во 2-ом всю эту байду на $1-x$ поделил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 16:50 


28/11/11
260
Joker_vD в сообщении #511755 писал(а):
Я бы лично во 2-ом всю эту байду на $1-x$ поделил.


Вот так? А что это даст?!

2. $$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)=\lim\limit_{x \to 1}\Big [\dfrac{m(1-x)}{(1-x)(1-x^m)}-\dfrac{n(1-x)}{(1-x^n)(1-x)}\Big]$$

А как применять эквивалентности, если тут $x\to 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 16:56 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Нет, я имел ввиду, после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе выносится $(1-x)$, а в знаменателе $(1-x)^2$... ой, в квадрате? Хм. Извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 17:06 


28/11/11
260
Joker_vD в сообщении #511761 писал(а):
Нет, я имел ввиду, после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе выносится $(1-x)$, а в знаменателе $(1-x)^2$... ой, в квадрате? Хм. Извините.


Понятно) А как можно еще?

-- 05.12.2011, 17:09 --

$$\lim\limit_{x \to 1}\big (\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\big)=\lim\limit_{x \to 1}\dfrac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}$$

А как применять эквивалентности, если тут $x\to 1$

Есть предположение, что можно сделать замену $t=1-x$, $t\to 0$, но есть ли альтернативы? Может есть способ попроще?)

-- 05.12.2011, 17:12 --

И еще остается вопрос по этому.

3.
$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(x+\frac{a}{n})+(x+\frac{2a}{n})+...+(x+\frac{(n-1)a}{n})\big]$$

Можно ли так сделать?

$$\lim\limit_{n \to \infty}\frac{1}{n}\big[(n-1)x+\frac{a}{n}\sum_{k=1}^{n-1}k\big]$$

Точно именно $n \to \infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Joker_vD в сообщении #511761 писал(а):
после приведения к общему знаменателю и вычитания, в числителе

прибавить и отбавить, после чего открывать ключиком $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}=\sum\limits_{j=0}^{k-1}\frac{x^j-1}{x-1}\to \sum\limits_{j=0}^{k-1}j=\frac{(k-1)k}{2}$

-- Пн дек 05, 2011 21:59:35 --

Ага, вот и общий знаменатель нарисовался, только один $1-x$ сократить бы.

-- Пн дек 05, 2011 22:06:52 --

mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):
Можно ли так сделать?

Ну дык, так и надо. Потому и спрашивали точно ли написано, что тогда задача никакая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 18:19 


31/10/10
404
mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):
Есть предположение, что можно сделать замену

Да делайте уже, куда уж проще. Смещаем заменой единицу в нуль и используем: $(1+x)^m \sim 1+mx+\frac{m(m-1)x^2}{2}+...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 19:40 


28/11/11
260
bot в сообщении #511787 писал(а):
прибавить и отбавить, после чего открывать ключиком $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}=\sum\limits_{j=0}^{k-1}\frac{x^j-1}{x-1}\to \sum\limits_{j=0}^{k-1}j=\frac{(k-1)k}{2}$


А откуда такая штука взялась $\frac{x^{k-1}+\ldots +1 -k}{x-1}$?

Это вы про второй пример?!

-- 05.12.2011, 19:44 --

Himfizik в сообщении #511794 писал(а):
mr.tumkan в сообщении #511767 писал(а):
Есть предположение, что можно сделать замену

Да делайте уже, куда уж проще. Смещаем заменой единицу в нуль и используем: $(1+x)^m \sim 1+mx+\frac{m(m-1)x^2}{2}+...$.


Ок, спасибо , но хочется другим способом) Чтобы не появлялись о-малые и О-большие...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение05.12.2011, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
mr.tumkan в сообщении #511832 писал(а):
А откуда такая штука взялась

Ну напишу конкретнее - прибавить и отбавить надо $mn$, тогда разность двух таких штук возникнет с $k=m$ и с $k=n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение06.12.2011, 04:12 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Во втором можно представить дробь $\dfrac{p}{1-x^p}$ в виде двух простейших дробей $\dfrac{f(x)}{1-x}+\dfrac{g(x)}{1+x+x^2+\cdots+x^{p-1}}$. Тогда исчезнет необходимость вычислять предел от дроби, в знаменателе которой есть ${1-x^p}$, а будет присутствовать разность двух рациональных дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение07.12.2011, 19:37 
Заслуженный участник


21/05/11
897
Я со вторым пределом поступил так:
$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right)=\\
=\lim\limits_{x\to1}\left\{m\left[\frac{1}{m}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}\right)\right]-n\left[\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right)\right]\right\}=\\
=\lim\limits_{x\to1}\left[\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}\right)-\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right)\right]=\\
=\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac{(m-1)+(m-2)x+\cdots+x^{m-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{m-1}}-\dfrac{(n-1)+(n-2)x+\cdots+x^{n-2}}{1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}}\right]=\\
=\dfrac{(m-1)+(m-2)+\cdots+1}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{m}}-\dfrac{(n-1)+(n-2)+\cdots+1}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{n}}=\\
=\dfrac{[(m-1)+1]\cdot\dfrac{m}{2}}{m}-\dfrac{[(n-1)+1]\cdot\dfrac{n}{2}}{n}=\dfrac{m}{2}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{m-n}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение07.12.2011, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Так вроде покороче будет:
$\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right)=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{n((x^{m-1}+\ldots + 1)-m)-m(x^{n-1}+\ldots + 1)-n)}{(x-1)(x^{m-1}+\ldots + 1)(x^{n-1}+\ldots + 1)}=\\ \frac{1}{m}\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x^{m-1}+\ldots + 1)-m}{x-1}-\frac{1}{n}\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(x^{n-1}+\ldots + 1)-n}{x-1}=\\ \dfrac{m-1}{2}-\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{m-n}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы
Сообщение14.12.2011, 16:18 


28/11/11
260
Спасибо!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group