2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Всеросс 2004
Сообщение28.01.2007, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Дано натуральное $n>3$ и положительные числа $x_{1}, x_{2}, ...,x_{n}$ . Доказать неравенство $\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{1}{1+x_{2}+x_{2}x_{3}}+..+\frac{1}{1+x_{n}+x_{n}x_{1}}>1$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
А там нет больше никаких оганичений на $x_j$ вроде $x_1x_2\ldots x_n=1$ или чего нибудь в таком духе?
Если взять все $x_j=x$, то надо доказать $\frac n{1+x+x^2}>1$. Что-то меня здесь смущает

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
RIP
Извиняюсь :oops: ! вечно в спешке забываю допиать что-то! Конечно
главное условие $x_{1}x_{2}..x_{n}=1$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 18:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Несколько громоздко можно доказать вариацией x_k\to ax_k, \ x_{k+1}\to \frac 1a x_{k+1}$, убеждаясь что минимум в одном из крайних положений. При этом неравенство неулучшаемо, т.е. существует такие значения, что выражение меньше 1+ерсилон.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 19:29 


21/06/06
1721
А если заменить каждое слагаемое так:
1) x2*x3*...*xn
2) x1*x3*...*xn
...
n) x2*x3*...*xn

каждое из которых явно не больше (исходя из условий задачи заменяемого слагаемого), а затем просто воспользоваться тем фактом, что среднее арифметическое n чисел не меньше среднего геометрического. В данном случае после такой замены среднее геометрическое явно равно 1 (опять таки из условий задачи).

Кажется, что можно условие несколько ослабить (т.е есть возможность еще несколько увеличить знаменатели, и тем не менее неравенство продолжит сотаваться справедливым).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Sasha2
Вы хотите сказать что $\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}>x_{2}..x_{n}$ ?? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.01.2007, 21:34 


21/06/06
1721
Да, пока вижу, что ошибся. Приношу извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Всеросс 2004
Сообщение01.02.2007, 06:25 


05/03/06
16
матмех
$\frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{1}{1+x_{2}+x_{2}x_{3}}+...+\frac{1}{1+x_{n}+x_{n}x_{1}} = \frac{1}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}}+\frac{x_{1}}{x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}} +\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}+...+\frac{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n-1}}{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n-1}+1+x_{1}} 
>
\frac{1+x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3} + ... + x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{n-1}}{1+x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3} + ... + x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{n-1}} = 1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group