непрерывность функции sin x

[nick_martel]

Нужно доказать, что функция  непрерывна на языке "эпсилон-дельта". Точнее зависимость дельта от эпсилон, учитывая то, что эпсилон задан. $\lim\limits_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0$
$|f(x) - f(x_0)|<\varepsilon$
$|x-x_0|<\delta$

Мысли такие: преобразовываем
$|\sin x-\sin x_0|=2|\sin\frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}|$
как дальше преобразовывать - понять не могу, но, вероятно, отсюда и можно вычислить зависимость.

[ewert]

Обозначьте $x-x_0=h$ и преобразуйте к удобному для оценивания виду разность $\sin(x_0+h)-\sin(x_0)$.

[bot]

Пока не пришёл злой модератор и не отправил Вашу тему в карантин, попробуйте изложить собственные мысли по поводу задачи. Заодно и tex подправьте
Эпсилон и дельта пишутся так
\varepsilon \delta

[Someone]

Да. Ещё добавлю, что синус - это\sin, предел - это \lim. Подправьте, и увидите, как будет красиво: $\lim\limits_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0$...

И, главное, собственные мысли о решении не забудьте изложить.

[ewert]

Someone в сообщении #503592 писал(а):

Подправьте, и увидите, как будет красиво:

Пока ещё не увидит. Всей красоты.

[nick_martel]

спасибо за подсказки, не был знаком с таким набором формул. Исправил и дополнил

[ewert]

nick_martel в сообщении #503587 писал(а):

как дальше преобразовывать - понять не могу, но, вероятно, отсюда и можно вычислить зависимость.

Не надо ничего вычислять. Просто грубо оцените и синус, и косинус сверху (способ оценивания для каждого определяется тем, кто из них маленький, а кто нет). И уберите звёздочку -- если уж очень хочется поставить хоть что-то, то ставьте \cdot

[bot]

Вам ведь надо получить импликацию $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |\sin x - \sin x_0|<\varepsilon$. Вот и начните с конца
$|\sin x - \sin x_0|<\varepsilon \Leftarrow ? \Leftarrow ? \ldots \Leftarrow |x-x_0|<\delta $ Пока на место вопросов нужные неравенства подбираете, возможно и требуемое $\delta$ как-нибудь само отыщется.

[nick_martel]

получилось, что $\varepsilon=\delta$.
теоретически такое может быть?

[Someone]

У меня однажды получилось даже $\varepsilon=\frac{59}{60}\delta$, и то я не испугался.

[nick_martel]

всем спасибо! разобрался