2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 17:08 


02/04/11
956
Padawan в сообщении #501145 писал(а):
Вы перепутали Фреше и Гато.

Да, вы правы :oops:

-- Вт ноя 08, 2011 21:10:05 --

_hum_
Клясться мамой не буду, т.к. хотя $C^1[0, 1]$ банахово, банок червей может все равно быть куча (дополнительные условия и т. д.), так что Гато безопасней :)

-- Вт ноя 08, 2011 21:11:41 --

_hum_ в сообщении #501166 писал(а):
Зачем для поиска вариации вообще привлекать уравнение Эйлера и указывать, закреплены концы или нет? Это ведь нужно только для поиска экстремалей. Нет?

Оно там просто возникает (для функционалов определенного типа), а связь с экстремалями затем следует из основной леммы вариационного исчисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 17:42 


29/10/11
105
по порядку
$\Delta I=I[y+\delta y]-I[y]$-первое определение
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\
\int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}]dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 18:36 


23/12/07
1757
keep-it-real
1) неправильно раскрыли квадрат;
2) не привели окончательно к нужному виду $L(\delta y) + r(\delta y)$,
где
$L$ - линейный функционал (то есть, такой функционал $L$, что для любого числа $\lambda \in \mathbb{R}$ и произвольных непрерывно дифференцируемых функций $h_1, h_2$ выполнялось бы $L(\lambda h_1 + h_2) = \lambda L h_1 + L h_2$),
$r$ - функционал (уже не обязательно линейный), такой, что с уменьшением величины $\delta y $ (которая (величина) определяется нормой $||\delta y||_{C^1} = \sup_{x}[\delta y](x) + \sup_{x}[(\delta y)'](x)$ ) стремится к нулю быстрее по порядку, чем функционал $L(\delta y)$ (т.е. $r(\delta y)/L(\delta y) \rightarrow 0, ||\delta y||_{C^1}  \rightarrow 0$).

А можно узнать, вы математик или физик? Просто не совсем понятно, на каком языке с вами вести диалог.

Ну и да,
3) так и не ответили на мой вопрос:
_hum_ в сообщении #500826 писал(а):
есть функция действительного переменного $g(u) = u^2, u\in \mathbb{R}$. В некоторой точке $u = u_0$ рассматриваются ее приращения $\Delta(u_0; h) = g(u_0 + h) - g(u_0)$ при изменении аргумента на $h$. Спрашивается, какой линейной функцией $L = L(h) $ при достаточно малых $|h|$ можно наиболее точно приблизить $\Delta(u_0; h)$ (как функцию от $h$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 18:40 


02/04/11
956
_hum_
Книжку-то посоветуйте :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 18:46 


23/12/07
1757
Kallikanzarid в сообщении #501220 писал(а):
_hum_
Книжку-то посоветуйте :oops:

Я не в курсе спец. книжек. А основы - это, по-моему, обычный ФАН.
А что, то, что рекомендовал Padawan,
Padawan в сообщении #500670 писал(а):
... почитайте, например, Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление, или, на худой конец, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

не подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 18:56 


29/10/11
105
Цитата:
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\
\int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 19:06 


23/12/07
1757
keep-it-real в сообщении #501236 писал(а):
Цитата:
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\
\int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

Где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 19:13 


29/10/11
105
_hum_ в сообщении #501241 писал(а):
keep-it-real в сообщении #501236 писал(а):
Цитата:
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\
\int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[\delta yx +2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}]dx$

исправлено

Где?

где ошибка то в раскрытии квадрата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 19:21 


23/12/07
1757
keep-it-real в сообщении #501246 писал(а):
где ошибка то в раскрытии квадрата?


$(y'+\delta y')^2 \neq y'^{2}+2\delta y'^{2}+\delta y'^{2}$

На всякий случай: $y'\delta y' \neq \delta y'^2$, потому как $\delta y$ является отдельной функцией (которую, чтобы не путаться, лучше бы было обозначить через $h$), а не произведением $\delta \cdot y$$. Соответственно, $\delta y' = (\delta y)'$, а не $\delta\cdot y'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 19:26 


29/10/11
105
ну понятно, что где-то здесь ошибка, только где конкретно?
так что ли $(y'+\delta y')^2=y'^{2}+2\delta y' y'+(\delta y')^{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 19:35 


23/12/07
1757
keep-it-real в сообщении #501253 писал(а):
ну понятно, что где-то здесь ошибка, только где конкретно?
так что ли $(y'+\delta y')^2=y'^{2}+2\delta y' y'+(\delta y')^{2}$

Типа того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 20:20 


29/10/11
105
$I=\int_{0}^{1}[x(y+\delta y)+(y'+\delta y')^2]dx-\int_{0}^{1}[xy+y'^{2}]dx=\\
\int_{0}^{1}[xy+\delta yx+y'^{2}+2\delta y'y'+(\delta y')^{2}-xy-y'^{2}]dx=\int_{0}^{1}[x\delta y +2\delta y'y'+(\delta y')^{2}]dx=\int_{0}^{1} x\delta y dx+2\int_{0}^{1}\delta y'y'+(\delta y')^{2}dx $

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 20:37 


23/12/07
1757
Ну и? Что предлагаете в качестве функционала $L$, а что в качестве $r$ и почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 20:39 


29/10/11
105
первый интеграл скорее всего $L$,интуитивно правда

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти вариацию функционала
Сообщение08.11.2011, 20:43 


23/12/07
1757
Будем гадать? Или возьмем и проверим требуемые условия, указанные ранее, см. сообщение #501217

Еще раз спрашиваю, у вас математическая специальность? Вы знакомы с понятием нормы?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group