2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на нахождение объема
Сообщение19.10.2011, 19:41 


05/10/10
19
Здравствуйте! Задача такая: найти объем фигуры в n-мерном пространстве, ограниченной единичным гиперкубом, точки которой удовлетворяют неравенствам:

$                  x_1-d<0$

$                  x_2-x_1-d<0$

$                  x_3-x_2-d<0$

...

$                  x_n-x_{n-1}-d<0$

$                  1-x_n-d<0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на нахождение объема
Сообщение20.10.2011, 00:14 


15/03/11
137
3AKPbIBAKA в сообщении #494180 писал(а):
Здравствуйте! Задача такая: найти объем фигуры в n-мерном пространстве, ограниченной единичным гиперкубом, точки которой удовлетворяют неравенствам:

$                  x_1-d<0$

$                  x_2-x_1-d<0$

$                  x_3-x_2-d<0$

...

$                  x_n-x_{n-1}-d<0$

$                  1-x_n-d<0$


Из первых n неравенств получаем

$                  x_1<d

$                  x_2<2d$

$                  x_3<3d$

...

$                  x_n<(n-1)d$


из последних n

$                  1-nd<x_1$

$                  1-(n-1)d<x_2$

$                  1-(n-2)d<x_3$

...

$                  1-2d<x_{n-1}$

$                  1-d<x_n$[/quote]


Итого получаем систему ограничений"


$                  1-nd<x_1<d$

$                  1-(n-1)d<x_2<x_1+d$

$                  1-(n-2)d<x_3<x_2+d$

...

$                  1-2d<x_{n-1}<x_{n-2}+d$

$                  1-d<x_n$<x_{n-1}+d[/quote]

$$V=\int\limits_{1-nd}^d\int\limits_{1-(n-1)d}^{x_1+d}\int\limits_{1-(n-2)d}^{x_n-2+d}\cdots\int\limits_{1-2d}^{x_{n-2}+d}\int\limits_{1-d}^{x_{n-1}+d}\,dx_n\,dx_{n-1}...\,dx_3\,dx_2\,dx_1$$

1)$\int\limits_{1-d}^{x_{n-1}+d}\,dx_n = x_{n-1}+2d-1$
2)$\int\limits_{1-2d}^{x_{n-2}+d}x_{n-1}+2d-1\,dx_n = \frac12(x_{n-1}+2d-1)^2|_{1-2d}^{x_{n-2}+d}=\frac12 (x_{n-2}+3d-1)^2$
3)$\int\limits_{1-3d}^{x_{n-3}+d}\frac12 (x_{n-2}+3d-1)^2\,dx_n = \frac16(x_{n-1}+4d-1)^3$
.......................
n-1)$\int\limits_{1-(n-1)d}^{x_1+d}\frac{1}{(n-2)!} (x_{n-2}+(n-1)d-1)^{(n-2)}\,dx_n = \frac{1}{(n-1)!}(x_1+nd-1)^{(n-1)}$
n)$\int\limits_{1-nd}^{d}\frac{1}{(n-1)!} (x_{n-2}+nd-1)^{(n-1)}\,dx_n = \frac{1}{n!}((n+1)d-1)^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на нахождение объема
Сообщение20.10.2011, 10:36 


05/10/10
19
Спасибо! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group