2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса
Сообщение14.10.2011, 15:52 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Недавно вот спросили, а я не знаю :oops:

Верно ли, что из существования интеграла Римана-Стилтьеса $\int_a^b f\,dg$ следует существование интеграла Лебега-Стилтьеса $\int_a^b f\,dg$?

Мы предполагаем, что функция $g$ является функцией распределения, то есть имеет ограниченную вариацию и непрерывна с нужной стороны на $[a,b]$, дабы вопрос имел смысл. Также понятно, что в зависимости от деталей определения значения интегралов могут не совпадать.

Ясно, что функция $f$ не обязана быть ограниченной, то есть недостаточно доказать её измеримость относительно меры, порождённой $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение15.10.2011, 00:48 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Может быть, контрпример найдётся в "Б.Гелбаум, Дж.Олмстед. Контрпримеры в анализе"? Там много такого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение15.10.2011, 15:54 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Посмотрел, вроде бы не видно. Попробую еще глянуть здесь, но если кто в курсе - все равно пишите :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение16.10.2011, 23:02 


13/11/09
117
Посмотрите еще про интеграл Мак-Шейна-Стилтьеса (например, в этой книге), его существование следует из существования интеграла Римана-Стилтьеса, и очень может быть, что он эквивалентен интегралу Лебега-Стилтьеса. Хотя, конечно, это в Крым через Рим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение17.10.2011, 12:03 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Slip в сообщении #493252 писал(а):
его существование следует из существования интеграла Римана-Стилтьеса
В этой книжке это доказано? Тогда как найду сразу посмотрю, потому что даже без всякого Стилтьеса это уже достаточно тонкий факт.
Кстати, какие у нас есть критерии интегрируемости по Риману-Стилтьесу? Что-то а-ля критерий Лебега?
Slip в сообщении #493252 писал(а):
очень может быть, что он эквивалентен интегралу Лебега-Стилтьеса
Ну этого точно не может быть (они обязаны противоречить на некоторых функциях, потому что интеграл Лебега является аддитивной функцией множества, а не отрезка), но вот эквивалентна ли интегрируемость - интересный тоже вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение18.10.2011, 02:31 


13/11/09
117
AD,

давайте я вкратце напишу что помню на эту тему. Интеграл Мак-Шейна вводится, как и интеграл Римана, в терминах предела по базе последовательности интегральных сумм, только база берется другая. С интегралом Мак-Шейна-Стилтьеса - то же самое, только в интегральной сумме вместо длины отрезка фигурирует разность значений функции g в концах отрезка. Тут я хотел написать, что одна база шире другой, и поэтому все хорошо, но память меня подвела и это не так, и в случае не-стилтьесовских интегралов то, что из интегрируемости по Риману следует интегрируемость по Мак-Шейну, следует все-таки из критерия Лебега. Так что, скорее всего, мой совет не сработает, потому что расчет был на простое доказательство этого факта.

Теперь про Лебега. Можно показать, что интеграл Мак-Шейна на отрезке эквивалентен интегралу Лебега на отрезке (т.е. классы интегрируемых на отрезке функций совпадают и значения интегралов равны). Делается это примерно так - доказываются теоремы о предельном переходе для каждого из интегралов, потом с их помощью доказывается эквивалентность интегралов на характеристических функциях измеримых множеств, потом на положительных функциях, а потом уже на всех. Этот факт, думается, можно обобщить на стилтьесовские интегралы.
AD в сообщении #493365 писал(а):
Ну этого точно не может быть (они обязаны противоречить на некоторых функциях, потому что интеграл Лебега является аддитивной функцией множества, а не отрезка), но вот эквивалентна ли интегрируемость - интересный тоже вопрос
Вот тут не очень понял. Ведь от ограниченного множества перейти к отрезку не проблема (просто умножение на характеристическую функцию).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл Римана-Стилтьеса
Сообщение18.10.2011, 14:11 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Slip в сообщении #493692 писал(а):
Вот тут не очень понял. Ведь от ограниченного множества перейти к отрезку не проблема (просто умножение на характеристическую функцию).
Проблема в том, что два соседних отрезка пересекаются. А одноточечное множество - их пересечение - может иметь положительную меру. Поэтому интеграл Лебега-Стилтьеса обычно определяют как интеграл по $[a,b)$ (или $(a,b]$, смотря с какой стороны непрерывна функция распределения), при этом получается аддитивная функция отрезка, но получаются противоречия с интегралом Римана-Стилтьеса всё равно. Подумайте :wink: Ну или почитайте Сакса, где сравнивают с интегралом Перрона-Стилтьеса, по смыслу то же самое.

upd: А может быть и фигню я пишу. Не, наверное, если мы делаем всё аккуратно, то даже противоречия не получается, пока мы ограничиваемся функциями распределения, а не произвольными функциями ограниченной вариации, и определяем интеграл Стилтьеса по полуотрезку в нужную сторону. Но все равно нужно в этом месте лишний раз думать каждый раз, подводные камни присутствуют.
Slip в сообщении #493692 писал(а):
Делается это примерно так
Кстати, я вот в книжке Богачёва (основы теории меры) видел какое-то более прямое доказательство вроде.

Ну ладно, пока вопрос открытый :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group