нахождение совместной функции распределения

[biv171]

Здравтвуйте.

Задача:
имеется вектор случайных величин:$(x_0,x_1,x_2,x_3)$, где данные величины определяются так:

$x_0=\frac {t_1} {t_1 + s_1}$
$x_1=\frac {t_2} {t_2 + s_2} - \frac {t_1} {t_1 + s_1}$
$x_2=\frac {t_3} {t_3 + s_3} - \frac {t_1} {t_1 + s_1}$
$x_3=\frac {t_4} {t_4 + s_4} - \frac {t_1} {t_1 + s_1}$

где величины $t_i$,$s_i$ - входные параметры модели(случайные величины:диапазон значений от 0-не включая до 1000).

главный вопрос: как найти совместную функцию распределения случайных величин $(x_0,x_1,x_2,x_3)$?

решать пытался вот как: я взял первую формулу случайной величины:
$x_0=\frac {t_1} {t_1 + s_1}$

преобразовав к такому виду:
$x_0=\frac 1 {1 + \frac {s_1} {t_1} }$

и по отношению $\frac {s_1} {t_1}$ -хочу сделать вывод о совместном распредлении всей функции. тут то меня и одолевают сомнения правльно ли я делаю или на ложном пути?

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

не оформлены формулы, нет своих попыток решения, да и формулировка задачи страдает: что такое эти s и t, что про них известно? Исправляйте все.

[--mS--]

А про совместное распределение $s_1, s_2, s_3, s_4, t_1, t_2, t_3, t_4$ что-нибудь известно? Что они - зависимы? независимы? Да и сами по себе - дискретны ли, абсолютно непрерывны ли, или что-то ещё?

Если предположить идеальный случай - все они независимы, и имеют абсолютно непрерывные распределения с некоторыми плотностями, то введя $\xi_i = \dfrac{1}{1+\frac{s_i}{t_i}}$, получим, что новый вектор $\vec{x}=(x_0, x_1, x_2, x_3)^T$ получен из старого вектора $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)^T$ линейным преобразованием $\vec{x}=A\vec{\xi}$ с невырожденной матрицей

$$A=\begin{pmatrix}~1 & ~0 & ~0 & ~0\\ -1~ & ~1 & ~0 & ~0 \\ ~0 & -1~ & ~1 & ~0 \\ ~0 & ~0 & -1~ & ~1\end{pmatrix}.$$

Плотность совместного распределения вектора $\vec{x}$ выражается через плотность совместного распределения вектора $\vec{\xi}$ как

$$ f_{\vec{x}}(\vec{u})=\dfrac{1}{|\det(A)|} f_{\vec{\xi}}\left(A^{-1}\cdot\vec{u}\,\right).$$

Благо, здесь и определитель единица, и обратная матрица считается просто, поскольку вектор $\vec\xi$ элементарно выражается через $\vec{x}$.

Совместная плотность вектора $\vec{\xi}$ из независимых координат есть произведение плотностей координат. Дальше эти плотности уже можно искать по плотностям исходных величин $s_i$ и $t_i$.

Ну а зачем может понадобиться функция распределения совместного распределения, не знаю. В крайнем случае полученную плотность можно проинтегрировать.

[biv171]

Большое спасибо за непрерывный случай, забыл сказать $s_1,s_2,s_3,s_4,t_1,t_2,t_3,t_4$ -независимы и дискретны,как я говорил это входные параметры модели, не могли бы подсказать как найти совместную функцию в дискретном случае?

[--mS--]

biv171 в сообщении #493095 писал(а):

Большое спасибо за непрерывный случай, забыл сказать $s_1,s_2,s_3,s_4,t_1,t_2,t_3,t_4$ -независимы и дискретны,как я говорил это входные параметры модели, не могли бы подсказать как найти совместную функцию в дискретном случае?

Вы уверены, что Вам нужна именно функция распределения? А не таблица, например? Берёте и перебираете все варианты значений входных данных, дающие нужные неравенства на иксы. Считаете, вероятность по каждому варианту. Складываете.

[biv171]

к сожалению нужна именно совместная функция распределения $x_0,x_1,x_2,x_3$, а не таблица, все значения входных данных перебрать просто напросто невозможно их от 1000 и больше ... так что нужна функция распределения,но как её найти - тут у меня ступр начинается..

MS - вы представляете хоть как найти?подтолкните пожайлуста -буду "копать" хоть в определенном направлении, может какое-нибудь линейное проеобразование подошло бы..

[--mS--]

biv171 в сообщении #493226 писал(а):

MS - вы представляете хоть как найти?подтолкните пожайлуста -буду "копать" хоть в определенном направлении, может какое-нибудь линейное проеобразование подошло бы..

Уже написано, как найти. Перебирать и складывать. Точно так же, как и для непрерывного случая, только там это называется "интегрировать". Других вариантов нет. Тысяча - для компьютера - сущаяя ерунда. Даже в восьмой степени.