2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача представления в другом виде (преобразовать выражение)
Сообщение28.09.2011, 15:22 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
Доказать, что
$(\sqrt{2}-1)^n$, где n - натуральное,
представимо в виде
$\sqrt{m+1}-\sqrt{m}$, где m - натуральное.

Попытки:
а) по индукции - пусть для k доказано, то
доказать для 2k+1 -- в квадрате представляется, а далее
б) рассмотреть вместе с $\sqrt{m+1}+\sqrt{m}$ - не прошел
с) ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение28.09.2011, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Бином Ньютона подумайте про.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение28.09.2011, 15:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Полезно вместе с исходным выражением $(\sqrt{2}-1)^n$ рассмотреть и выражение $(1+\sqrt{2})^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение28.09.2011, 17:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Уравнение $\sqrt{m+1}-\sqrt m=\alpha$ (где $\alpha=(\sqrt2-1)^n$) тупо решается: $m=\left(\frac{1-\alpha^2}{2\alpha}\right)^2=\left(\frac12(\frac1{\alpha}-\alpha)\right)^2.$ Теперь, чтобы доказать, что $m$ -- целое, достаточно воспользоваться советом nnosipov и затем чуть-чуть ИСН
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение28.09.2011, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Индукция проходит очень легко. $(\sqrt 2 -1)^n$ можно представить в виде $a\sqrt 2 - b$ для нечётных $n$, где $2a^2-b^2=1$. Для чётных $n$ аналогичную формулу получите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение30.09.2011, 09:08 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
мат-ламер в сообщении #487395 писал(а):
Индукция проходит очень легко. $(\sqrt 2 -1)^n$ можно представить в виде $a\sqrt 2 - b$ для нечётных $n$, где $2a^2-b^2=1$. Для чётных $n$ аналогичную формулу получите сами.


да, thanks all за подсказки
только при чем тут - чет и нечет
$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, где a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $2a^2-b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2+1}-\sqrt{b^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение30.09.2011, 09:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Мастак в сообщении #487961 писал(а):
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2-1}-\sqrt{b^2}$
Всё ли хорошо в этом равенстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение30.09.2011, 09:41 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
nnosipov в сообщении #487962 писал(а):
Мастак в сообщении #487961 писал(а):
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2-1}-\sqrt{b^2}$
Всё ли хорошо в этом равенстве?


очепатка :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение30.09.2011, 20:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Мастак в сообщении #487961 писал(а):
$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, где a>0, b>0 и натуральные
Это верно не всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение30.09.2011, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Мастак в сообщении #487961 писал(а):
только при чем тут - чет и нечет

Для нечётных $n$ эта формула умножается на $-1$. В принципе и одну формулу можно написать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача представления в другом виде
Сообщение03.10.2011, 10:35 
Аватара пользователя


27/02/09

416
Мегаполис
мат-ламер в сообщении #488113 писал(а):
Мастак в сообщении #487961 писал(а):
только при чем тут - чет и нечет

Для нечётных $n$ эта формула умножается на $-1$. В принципе и одну формулу можно написать.


$(\sqrt 2 -1)^n=a\sqrt 2 - b$, n - нечетное, a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $2a^2-b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2+1}-\sqrt{b^2}$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$, c - натуральное

$(\sqrt 2 -1)^n= b - a\sqrt 2 $, n - четное, a>0, b>0 и натуральные
$(\sqrt 2 +1)^n=a\sqrt 2 + b$
$(\sqrt 2 -1)^n(\sqrt 2 +1)^n=1$ => $- 2a^2+b^2=1$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{b^2}-\sqrt{b^2-1}$
$(\sqrt 2 -1)^n=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}$, c - натуральное

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group