Упорядочивание несчётных множеств

[Asker Tasker]

Доброго времени суток!

Согласно теореме Цермело любое (а значит и несчётное) множество можно вполне упорядочить. Со счётными множествами процедура в принципе понятна. Но мне интересно, существует ли какой-то способ вполне упорядочивания множества несчётного? Или хотя бы построения такого. Сама-то теорема неконструктивная (по крайней мере то её доказательство, которое я видел в "Алгебре" ван дер Вардена), то есть факт возможности доказывает, а алгоритма не предлагает.

Заранее благодарен.

[PSP]

Asker Tasker в сообщении #480237 писал(а):

Доброго времени суток!

Согласно теореме Цермело любое (а значит и несчётное) множество можно вполне упорядочить. Со счётными множествами процедура в принципе понятна. Но мне интересно, существует ли какой-то способ вполне упорядочивания множества несчётного? Или хотя бы построения такого. Сама-то теорема неконструктивная (по крайней мере то её доказательство, которое я видел в "Алгебре" ван дер Вардена), то есть факт возможности доказывает, а алгоритма не предлагает.

Заранее благодарен.

Теорема Цермело основана на аксиоме выбора (можно сказать даже, что теорема Цермело может стать аксиомой - тогда аксиома выбора может стать теоремой...).Так что если есть алгоритм выбора одного элементв во множестве (счётном или нет) - то есть и алгоритм упорядочивания этого множества.
Другой, более интересный вопрос - это математики без аксиомы выбора или ,наоборот, с её обобщением.Тут можно получить кучу интересных и необычных результатов...

[Asker Tasker]

Если мы обратимся к "Алгребре" ван дер Вардена (стр. 238, издание у меня смешанное - первый том по изданию 1971-го года), то найдём примеры того, как счётные множества немного преобразовываются и становятся вполне упорядоченными: например, добьёмся такого, расположив целые числа следующим образом: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ... Как подобное сделать со множеством чисел действительных, мне в голову ну никак не приходит.

Вот мне и было интересно увидеть пример вполне упорядочивания множества несчётного. Я не уверен, что существует какое-либо решение для общего случая - наверное, в каждом отдельном множестве нужно делать отдельные действия. Может быть, кто-то знает, как вполне упорядочить множество действительных чисел или же знает, что этого до сих пор никому не удалось? Я не удивлюсь, если окажется, что пока несчётные множества упорядочить не удавалось.

Надеюсь на Ваши ответы.

[PSP]

Asker Tasker в сообщении #480317 писал(а):

Если мы обратимся к "Алгребре" ван дер Вардена (стр. 238, издание у меня смешанное - первый том по изданию 1971-го года), то найдём примеры того, как счётные множества немного преобразовываются и становятся вполне упорядоченными: например, добьёмся такого, расположив целые числа следующим образом: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ... Как подобное сделать со множеством чисел действительных, мне в голову ну никак не приходит.

Вот мне и было интересно увидеть пример вполне упорядочивания множества несчётного. Я не уверен, что существует какое-либо решение для общего случая - наверное, в каждом отдельном множестве нужно делать отдельные действия. Может быть, кто-то знает, как вполне упорядочить множество действительных чисел или же знает, что этого до сих пор никому не удалось? Я не удивлюсь, если окажется, что пока несчётные множества упорядочить не удавалось.

Надеюсь на Ваши ответы.

Если уж нужен просто алгоритм того, как вполне упорядочить множество действительных чисел ,то самое наглядное - это посмотреть теорию действительных чисел в той форме, которая была была построена К. Вейерштрассом на основе бесконечных десятичных дробей.

(Оффтоп)

Есть ещё подходы Дедекинда и Кантора, но они не так наглядны..
С моей точки зрения самый ценный - подход Дедекинда.
И вообще тут есть куча вещей, которые прямо из математики лезут в физику...
Вот почему Вам отвечает не математик, а физик...

[sergei1961]

Не знаю, помогут ли ссылки на разные теории чисел. Мне кажется, что отрезок $[0,1]$ пока никто не смог конструктивно вполне упорядочить. Что уж там говорить про континуальные другие множества, или тем более про произвольные. Так что эта теорема самая неконструктивная из всех неконструктивных и для многих является серьёзным аргументом против аксиомы выбора. Наряду с разрезанием курицы на четыре части, чтобы потом из двух частей сложить исходную курицу, а потом из двух оставшихся-ещё одну исходную. Словом, "иди и обеспечивай народ курями" (А.Райкин).

[PSP]

sergei1961 в сообщении #480351 писал(а):

Не знаю, помогут ли ссылки на разные теории чисел. Мне кажется, что отрезок $[0,1]$ пока никто не смог конструктивно вполне упорядочить. Что уж там говорить про континуальные другие множества, или тем более про произвольные. Так что эта теорема самая неконструктивная из всех неконструктивных и для многих является серьёзным аргументом против аксиомы выбора. Наряду с разрезанием курицы на четыре части, чтобы потом из двух частей сложить исходную курицу, а потом из двух оставшихся-ещё одну исходную. Словом, "иди и обеспечивай народ курями" (А.Райкин).

Насчёт неконструктивности Вы правы.Это серьёзный аргумент против аксиомы выбора. Подробный обзор есть в книге :"Ранняя история аксиомв выбора" Медведев .Но чисто конструктивная математика, без использования аксиомы выбора, получается сильно урезанной.Поэтому её применяют.
А из всех отраслей математики, где оправданно не используется аксиома выбора, мне КАЖЕТСЯ, это только теория вероятностей...
Другое дело, было бы интересно построить математику с обобщённой аксиомой выбора..

[sergei1961]

сложный вопрос. Есть хорошие альтернативные аксиомы, см. книгу очень хорошую Кановея по аксиоме детерминированности. При ней сохраняется аксиома счётная выбора, т.е. весь студенческий анализ (выберем в данном круге точку, потом в следующем вложенном точку, и так получим последовательность...). Ну будут все множества измеримыми, не будет промежуточной мощности между счётной и континуумом, всяких других чудес, существование которых можно доказать (точнее, предположение об их отсутствии противоречит аксиоме выбора)-да и бог с ними. Если работаешь с функциями Бесселя или дифуры на машине считаешь-вполне должно устраивать. А вообще-это проявление принципа дополнительности Бора: для достаточно полного описания нетривиального объекта нужны противоречивые теории. Получается, что отрезок-далеко нетривиальный объект, всё сходится.

[epros]

Алгоритм вполне-упорядочения несчётного множества не существует, ибо сие понятие противоречиво. Следует данный факт из существования счётного ординала Чёрча-Клини, до которого не может добраться ни один алгоритм.

[ewert]

Asker Tasker в сообщении #480317 писал(а):

как вполне упорядочить множество действительных чисел

Никак нельзя, в принципе. Как и множество рациональных чисел. Просто потому, что линейный порядок на них уже однозначно задан, и относительно этого порядка они упорядочены откровенно не вполне, никакой же другой порядок никому и не нужен.

[epros]

ewert в сообщении #480438 писал(а):

Как и множество рациональных чисел.

Надеюсь, Вы так пошутили?

[ewert]

epros в сообщении #480442 писал(а):

ewert в сообщении #480438 писал(а):

Как и множество рациональных чисел.

Надеюсь, Вы так пошутили?

А упорядочьте его. Только вполне. Не меняя отношения порядка, разумеется.

[epros]

Почему же не меняя стандартного отношения порядка? У нас нет в условиях такого ограничения.

[ewert]

epros в сообщении #480449 писал(а):

У нас нет в условиях такого ограничения.

Фактически есть. Что такое вообще "числовое множество"? Это ведь не множество само по себе, а множество с некоторыми определёнными на нём структурами. В число которых входит и согласованное с другими структурами отношение порядка (если оно есть). И если Вам, скажем, захочется переопределить порядок на множестве рациональных чисел -- ради бога; только это уже не будет множеством рациональных чисел.

[epros]

ewert в сообщении #480453 писал(а):

Это ведь не множество само по себе, а множество с некоторыми определёнными на нём структурами.

Я не вижу в формулировке топикстартера чтобы там речь была о каких-то структурах, заданных на множестве, которые необходимо сохранить.

ewert в сообщении #480453 писал(а):

И если Вам, скажем, захочется переопределить порядок на множестве рациональных чисел -- ради бога; только это уже не будет множеством рациональных чисел.

Ну и пусть это называется как-то иначе. Главное, ведь множество-то будет то же? В частности, алгоритм вполне-упорядочения рациональных чисел известен...

[ewert]

Да вообще любое счётное множество вполне упорядочивается тривиально. Только кому это нужно, если после такого вполне упорядочения это множество перестаёт быть самим собой?...