2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 18:54 


26/12/08
1813
Лейден
Есть некая область, допустим квадрат $[-1,1]^2$. Если мы зададим начальное распределение тепла, то уравнение теплопроводности покажет нам, что с течением времени тепло распределится по всей области (при отсутствии внешнего вмешательства). Я думаю об обратном процессе.

Мы помещаем, скажем, частицы такие, что они движутся хаотически, но встретившись, остаются вместе. Таким образом они собираются в группы и чем больше группа, тем более должна быть по идее вероятность ее увеличения. Словом, процесс получается противоположный и думаю его представить в виде
$$
u_t = -u_{xx}
$$
с начальными условиями (что может вызвать у Вас поток протестов, понимаю).

Мне все же кажется, что поведение это уравнение может описать неплохо - но может, Вы посоветуете что-то лучшее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы напоретесь на режимы с обострениями и катастрофами, а кроме этого всё прекрасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 19:01 


26/12/08
1813
Лейден
ИСН
Мне-то надо смоделировать лишь до получения определенного пика в плотности. Скажем, мне интересна зависимость $\tau(E,u_0)$ - времени, когда решение уравнения с данными начальными условиями превосходит $E>0$. Неужели катастрофа произойдет раньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ИСН в сообщении #472030 писал(а):
Вы напоретесь на режимы с обострениями и катастрофами, а кроме этого всё прекрасно.

А мне казалось, такую задачу вообще нельзя корректно поставить... Разьясните этот моментик, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 20:45 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Решения однородного уравнения теплопроыводности при фиксированном $t$ являются аналитическими функциями по $x$. Соответствено, необходимым условием разрешимости начально-краевой для обратного уравнения теплопроводности является аналитичность начальной функции. И решенbе может существовать сколь угодно мало по времени.
Gortaur в сообщении #472031 писал(а):
Неужели катастрофа произойдет раньше?
Возьмем какую-нибудь негладкую начальную функцию $\psi$, меньшую единицы и сколь-угодно малое значение $t>0$. Обозначим через $u$ решение задачи Коши уравнения теплопроводности с $\psi$. Тогда решение задачи Коши для обратного кравнения с начальной функцией $u(\cdot,t)$ будет существовать только время $t$ и это решение нигде не будет больше единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А формулируются ли условия на время существования решения, если неизвестно, является ли данная начальная функция решением задачи Коши для прямого уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 23:08 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Не знаю, какие есть результаты, но навскидку получается следующеее. Решение прямой задачи Коши можно получать так. Возьмем преобразование Фурье $\tilde \psi(\xi)$ начальной функции $\psi(x)$, умножим на $e^{-|\xi|^2t}$ (преобразование Фурье от фундаментального решения уравнения теплопроводности) и сделаем обратное преобразрование Фурье. Это и будет ответ. Умножение $\tilde \psi$ на быстроубывающую функцию ведет к тому, что амплитуда спектральной характеристики решения при $t>0$ быстро убывает. А это означает гладкость оригинала. Для обратного уравнения теплопроводности тот же алгоритм дает умножение на $e^{|\xi|^2t}$, что ухудшает гладкостные свойства решения. Так что если для некоторых $c_1,c_2>0$ имеет место оценка $|\tilde\psi(\xi)|\le c_1 e^{c_2|\xi|^2}$, то решение существует при $t<c_2$ (посокльку результат экспоненциально убывает, а преобразование Фурье от него гладкая функция). Оценка на время существования решения в этом достаточном условии точная.

В частности, если $\psi$ является целой функцией конечного порядка $a>0$ (т.е. $\mathrm{supp}\; \psi\in\{|\xi|\le a\}$, то решение существует для любого $t>0$. Для этого достаточно также, чтобы $\tilde\psi$ убывало существенно быстрее $e^{-c|\xi|^2}$ для любого $c>0$. Как $e^{-|\xi|^4}$, например.

То же самое рассуждение годится и для ограничной области. Если $\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)$ - разложение по собственным функциям (с с.з. $\lambda_n$) соответствующей эллиптической задачи, то решение однородной краевой задачи для уравнения теплопроводности мимеет вид $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi_n(x)e^{-\lambda_n^2 t}$. Для обратной задачи можно аналогично написать формальное решение $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n\varphi(x)e^{\lambda_n^2 t}$. Так что если $|a_n|\le c_1 e^{-c_2 \lambda_n^2}$, то решение существует при $t<c_2$, поскольку ряд будет сходиться для таких $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение29.07.2011, 23:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну да, да. Но я бы обратил внимание на другое: на то, что практически это означает, что предложенная обратная задача нерешабельна с практической точки зрения абсолютно.

Ибо практически начальные условия заданы нам всегда с некоторой погрешностью. Которая, разумеется, никакой аналитичностью не описывается (с какой стати-то?...). Тем более настолько хорошей, чтобы погасить достаточно безумный рост собственных чисел. Следовательно, обратная задача и вполне бессмысленна. Как минимум практически.

Что, собственно, и делает второе начало термодинамики ну как минимум очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение30.07.2011, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vince Diesel
Спасибо, очень проясняет! Правда, навскидку непонятно, почему в условии $|\tilde\psi(\xi)|\le c_1 e^{c_2|\xi|^2}$ нет минуса в показателе, но это не принципиально.

ewert в сообщении #472090 писал(а):
Ибо практически начальные условия заданы нам всегда с некоторой погрешностью. Которая, разумеется, никакой аналитичностью не описывается (с какой стати-то?...).

Как раз наоборот, имея начальные условия с погрешностью, можно в рамках погрешности выбрать достаточно хорошую аппроксимацию, которая позволит некоторое время держаться на плаву (если я правильно понял Vince Diesel). Разумеется, это требует более искусного подхода, чем в лоб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение30.07.2011, 10:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
ewert в сообщении #472090 писал(а):
Что, собственно, и делает второе начало термодинамики ну как минимум очевидным.

А каким образом оно здесь формулируется и почему очевидно?
Munin в сообщении #472109 писал(а):
Правда, навскидку непонятно, почему в условии нет минуса в показателе

Опечатка :-)
Munin в сообщении #472109 писал(а):
Как раз наоборот, имея начальные условия с погрешностью, можно в рамках погрешности выбрать достаточно хорошую аппроксимацию, которая позволит некоторое время держаться на плаву (если я правильно понял Vince Diesel).

В принципе, да. В случае ограниченной области аналогом целых функций конечной степени будут функции $\psi$, представимые в виде конечной линейной комбинаци с.ф. $\varphi_n$. Тогда решение существует для любого $t$. Только решение будет быстро расти по $t$ и малое отклонение в начальных данных со временем приводит к большим отклонениям.
Есть методы решения некорректных задач (регуляризация по Тихонову, приближенное решение интегральных уравнений первого рода), в том числе и задач для уравнения теплопроводности с обратным временем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение30.07.2011, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А что такое некорректные задачи вообще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение30.07.2011, 21:39 


26/12/08
1813
Лейден
Munin в сообщении #472047 писал(а):
А мне казалось, такую задачу вообще нельзя корректно поставить... Разьясните этот моментик, пожалуйста.

Вы как будто знаете, какие задачи некорректны, нет? :roll:

-- Сб июл 30, 2011 22:55:09 --

Спасибо за комментарии.

1. насчет практической ценности может оказаться, что неустойчивость - это то, что надо. Модель заключается в том, что есть множество частиц распределенных в объеме, которые склеиваются при столкновении и следовательно собираются в кластеры со временем. Меня-то как раз беспокоило, что УЧП будет давать слишком детерминистский ответ в то время, как эмпирический вывод говорит о случайном формировании кластеров. Таким образом, чувствительность к начальным условиям может быть полезна.

Я нашел несколько моделей образования кластеров, но они были из биологии популяций и там предполагалось, что кластеры образуются из-за того, что рождение новых индивидов происходит рядом с родителями. В итоге для функции корреляции было уравнение теплопроводности с $\delta$-функией в виде свободного члена, а именно
$$
u_t = \alpha \Delta u+\beta \delta(x).
$$

Здесь уравнение-то прямое, но так как в модели, о которой я говорю, причина образования кластеров другая, то обратное уравнение теплопроводности - первое, что пришло в голову, т.к. поведение немного похоже на то, что я хотел. Собственно, мой второй вопрос был в том, есть ли какие другие идеи для описания плотности распределения частиц в таком процессе?

2. Насколько я понимаю из постов Vince Diesel, решение уравнения будет до тех пор, пока $u$ ведет себя хорошо. Я буду моделировать плотность распределения, так что будет производится некоторая нормировка для постоянства интеграла. Возможно это и приведет к тому, что решение будет расти до порога, который мне необходим.

Vince Diesel А что Вы посоветуете посмотреть по методам решения таких задач?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение30.07.2011, 22:00 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Есть стандартное определение корректной задачи по Адамару. Единственность здесь вроде есть, а вот непрерывной зависимости от начальных данных нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение31.07.2011, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Vince Diesel
И снова спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель обратная распределению тепла
Сообщение31.07.2011, 11:24 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Насчет кластеров, мне кажется, что это прямая задача. Какое уравнение вопрос отдельный. Но это прямая эволюция. Вот восстановление по кластерам начального распределения частиц, это была бы обратная задача. А что касается определенности решений, так это совсем не то же самое, что определенность траекторий. Для винеровского процесса плотность вероятности в момент времени $t$ вполне однозначно определяется начальным распределением, но траектории то нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group