Вопрос простой,но все же-нелинейность в уравнениях

[Robomaster90]

Что именно считать нелинейными уравнениями?те уравнения,которые:
1)График которых не является прямой,уравнение которой y=kx+b
2)Если в уравнении(дифф или другом) есть произведение функции на функцию,тригонометрические символы,корни,логарифмы и все что не является видом kx?

Правильны ли эти утверждения,чем можно дополнить?

[ИСН]

Вы зря диффуры и обычные ставите в одни скобки. У них общего примерно как между Гоголем и Гегелем. Вот, к примеру, $y'=kx^2$ - линейное уравнение, а $y=kx^2$ - нет.

-- Чт, 2011-07-28, 11:43 --

Или к характеристике "линейное" требуются дополнительные пояснения.

[Robomaster90]

мда...у меня проблемы теперь с пониманием почему пример приведенный выше линеен, а без производной не линеен(

[ИСН]

Потому что в первом случае линейность без пояснений обычно понимается как линейность по y и всем его производным, а во втором - ...

[Gortaur]

Robomaster90
Дело в том, что линейность функции $f$ это свойство

$$ f(ax+by) = af(x)+bf(y). $$

Теперь о линейности уравнений. Уравнения не функции, линейными могут быть функции, который в них входят - но есть нюансы. Например, если

$$ y = f(x) $$

где $f$ линейна, то

$$ y = kx $$

для какого-то $k$. С другой стороны, есть более общее уравнение, которое так же легко решается:

$$ y = kx+b $$

но при этом сама функция $g(x) = kx+b$ не является линейной, а является аффинной. Поэтому по сути линейным уравнением мы назовем такое

$$ y = f(x)+b $$

где $f$ линейна.

Теперь насчет дифуров. Общий вид разрешенного дифура первого порядка такой

$$ y' = F(x,y). $$

Функция в правой части зависит от обеих переменных в общем случае. Но оказывается, что зависимость ее от икса нисколько не вредит процедурам решения, а вот зависимость от игрека влияет очень сильно. Поэтом мы называем линейными уравнения, у которых $F$ линейна по $y$ - то есть

$$ y' = k(x)y. $$

Ну и опять же, можно использовать те же самые методы, если $F$ аффинна по игрек, а не линейна, то есть

$$ y' = k(x)y+b(x). $$