2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 03:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

Надо же, с удивлением обнаружил, что уже зарегистрирован на этом форуме...


В Верещагине и Шене "Начало теории множеств" встретил два определения упорядоченной пары.
По Куратовскому (изменил треугольные скобки на круглые):
$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

По Винеру:
$(x,y)=\{\{\varnothing,\{x\}\},\{\{y\}\}\}$

Вроде бы, всё хорошо - оба выражения удовлетворяют определению (данному там же):
$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\;\Leftrightarrow\;x_1=x_2, y_1=y_2$

Проблемы у меня начинаются, когда я пытаюсь находить мощности. Например, найдём мощность множества $\varnothing\times\varnothing$. С наивной точки зрения ясно, что $\varnothing\times\varnothing=\varnothing$, так как множество упорядоченных пар элементов из двух пустых множеств пусто. Соответственно, для мощностей получается привычная формула $0\cdot{0}=0$.

Теперь попробуем через упорядоченные пары по Куратовскому:
$\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$, и, соответсвтенно, $0\cdot{0}=1$

По Винеру не лучше:
$\{\{\varnothing,\varnothing\},\{\varnothing\}\}=\{\{\varnothing\}\}$, ну и опять ноль на ноль даёт единицу.

Теперь смотрю, сколько будет $0\cdot{1}$, где $1=|\{\varnothing\}|$. Опять строю упорядоченную пару как элемент множества $\varnothing\times\{\varnothing\}$.
По Куратовскому:
$\{\varnothing,\varnothing\}=\{\varnothing\}$ и $0\cdot{1}=1$
По Винеру:
$\{\{\varnothing,\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}=\{\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}$ и $0\cdot{1}=2$ :shock:

Ясно, что у меня проблемы где-то в самом фундаменте, но не соображу, где.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 04:07 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
По-моему, ошибка в том, что Вы считаете $\emptyset$ элементом множества $\emptyset$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 04:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Вроде бы, нет. Давайте, я подробно опишу, как я получил $0\cdot{0}=1$ по Куратовскому.
Итак, имем декартово произведение двух пустых множеств, то есть множество всех упорядоченных пар, первый элемент из которой пренадлежит первому множеству, а второй - второму. Интуитивно ясно, что таких пар нет ни одной. Поэтому искомое произведение множеств само является пустым. Однако же проверим, что получается по формуле $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Разберёмся с первым элементом этого множества. Так как в пустом множестве нет ни одного элемента, то $\{x\}=\varnothing,x\in\varnothing$ (чую, что вот здесь у меня как раз ошибка). Точно так же делаю вывод, что $\{x,y\}=\varnothing,x\in\varnothing,y\in\varnothing$. Поэтому упорядоченной парой получается одноэлементное множество $\{\varnothing\}$.

Кстати, я ошибся в первом сообщении. По Винеру у меня должно тоже получится $0\cdot{1}=1$, а не $0\cdot{1}=2$, так как пара существует, но одна, а то, что она является двухэлементным множеством, неважно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 04:53 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
пар просто не будет, т.к. вы не можете выбрат ни одного элемента из пустого множества

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 05:07 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
olenellus в сообщении #464550 писал(а):
Однако же проверим, что получается по формуле $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Разберёмся с первым элементом этого множества. Так как в пустом множестве нет ни одного элемента, то $\{x\}=\varnothing,x\in\varnothing$


$\{x\}$ - это одноэлементное множество, поэтому
$\{x\}\ne\varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 05:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
BapuK в сообщении #464551 писал(а):
пар просто не будет, т.к. вы не можете выбрат ни одного элемента из пустого множества

А что значит "выбрать"? Это значит, использовать какую-то функцию? Но ведь для самого понятия функции уже нужны упорядоченные пары.


bnovikov в сообщении #464552 писал(а):
$\{x\}$ - это одноэлементное множество, поэтому $\{x\}\neq\varnothing$.

Правильно ли я понимаю, что $\{x\}:x\in\varnothing$ не сущетсвует (является ложью), так как это утверждение о том, что в пустом множестве содержится хотябы один эелемент. Но как это правильно формализовать? Может, я не с той книжки начал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 05:35 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
ну давайте так попробуем:
$A\times B=\{\{\{x\},\{x,y\}\}\mid x\in A, y\in B\}$
Положим $A=B=\varnothing$, но условиям $x, y\in\varnothing$ не удовлетворяет ни одного элемента, следовательно множество $\varnothing\times\varnothing$ -- пустое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 05:40 
Заслуженный участник


06/05/11
278
Харьков
olenellus в сообщении #464554 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что $\{x\}:x\in\varnothing$ не сущетсвует (является ложью), так как это утверждение о том, что в пустом множестве содержится хотя бы один эелемент. Но как это правильно формализовать? Может, я не с той книжки начал?


Раз Вы согласились с тем, что в пустом множестве нет элементов :-), то теперь должны признать, что у Вас нет ни одной пары.

BapuK в последнем письме говорит о том же.

По поводу книг не берусь советовать, слишком давно читал о множествах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упорядоченные пары по Куратовскому и Винеру и пустое множ.
Сообщение03.07.2011, 05:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
BapuK, так уже понятнее. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group