2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на уравнения Лагранжа
Сообщение17.12.2006, 14:47 


17/12/06
5
Севастополь
Всем привет.
Помогите пожалуйста решить простенькую задачу, а то очень надо, а сам не очень шарю.

Выписать лагранжиан и уравнения Лагранжа плоского математического маятника массы m, подвешенного на пружине жесткости k. Разложить лагранжиан в окрестности нижнего положения равновесия до квадратичных членов. Получить линеаризованные уравнения Лагранжа. Найти нормальные моды колебаний, определить их частоты.

Изменил название темы на более содержательное и переместил в механику
В будущем делайте это сами // Аурелиано


Добавлено спустя 22 минуты 15 секунд:

Re: Задача на уравнения Лагранжа

E.L.Xenu писал(а):

Изменил название темы на более содержательное и переместил в механику
В будущем делайте это сами // Аурелиано


Лучше решить бы помог :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 13:31 


01/12/05
196
Москва
Ну а в чём сложность-то, или ты хочешь, чтобы мы тут за тебя решили? Нет уж, сделать тебе придется самому, ну а мы - поможем.

Итак, берешь, скажем вот эту книгу:
http://lib.mexmat.ru/books/2820, и внимательно читаешь страницы 268-277. Там все объяснено вполне доходчиво. Пойдем по пунктам:

0. Придется ввести в рассмотрение дополнительный параметр - длину недеформированной пружины $l_0$.

1. Надо выбрать обобщенные координаты. Предлагаю в качестве таковых использовать угол отклонения маятника от вертикали $\varphi$ и удлинение пружины $\delta$.

2. Далее тебе надо выразить кинетическую энергию системы через обобщенные координаты и их производные. Очень удобно рассматривать 2 компоненты скорости - радиальную проекцию, целиком обусловленную деформацией пружины, и касательную, целиком обусловленную качанием маятника. Получаем:
$v_n=\dot\delta$
$v_\tau=(l_0+\delta )\dot\varphi$
Отсюда находим кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и их производных:

$T=\frac{m}{2}(v_n^2+v_\tau^2)=\frac{m}{2}(\dot\delta^2+(l_0+\delta)^2 \dot\varphi^2)$

Дальше - сам.

3. Далее тебе надо выразить потенциальную энергию системы как функцию обобщенных координат. Очевидно, потенциальная энергия здесь складывается из потенциальной энергии груза в поле силы тяжести ($\Pi _1$) и потенциальной энергии деформированной пружины ($\Pi _2$). Скрупулёзно и внимательно выписываешь их, а затем находишь полную потенциальную энергию системы: $\Pi=\Pi_1+\Pi_2$.

4. Находишь функцию Лагранжа, она же - лагранжиан, она же - кинетический потенциал:

$L=T-\Pi$

5. Далее составляешь уравнения Лагранжа второго рода:

$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial\dot\varphi}}-\frac{{\partial L}}{{\partial\varphi}}=0$
$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial\dot\delta}}-\frac{{\partial L}}{{\partial\delta}}=0$

6. Если к этому моменту еще не станет ясно, что делать дальше, постишь сюда, что получилось, а мы помогаем. Да, по поводу TeX'а - я в нём совершенно не разбираюсь, а формулки генерю MathType'ом - это чтобы ты не пугался технической стороны проблемы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2006, 17:47 


17/12/06
5
Севастополь
Спасибо огромное!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group