Бесконечная игра

[Xenia1996]

На доске $19\times 19$ расставлены $n$ шашек.
Ход заключается в том, чтобы одновременно передвинуть все шашки на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки так, чтобы никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку. Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

При каком наибольшем $n$ данная игра может продолжаться бесконечно?

[Lunatik]

Xenia1996 в сообщении #460887 писал(а):

На доске $19\times 19$ расставлены $n$ шашек.
Ход заключается в том, чтобы одновременно передвинуть все шашки на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки так, чтобы никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку. Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

При каком наибольшем $n$ данная игра может продолжаться бесконечно?

А при совершении хода все шашки двигаться должны в одном направлении, или одну шашку вниз, другую влево?..

-- Ср июн 22, 2011 12:39:44 --

Просто если в одном - то ответ 81, а если разных - то 180... наверное...

[zhekas]

Lunatik в сообщении #461019 писал(а):

Просто если в одном - то ответ 81, а если разных - то 180... наверное...

маловато. 324 точно можно

[Lunatik]

А у вас на пустые клетки пешки шагают?

[zhekas]

Lunatik в сообщении #461040 писал(а):

А у вас на пустые клетки пешки шагают?

на одновременно освобождающиеся

[Lunatik]

Блин, дык что мне мешает поставить пешки на все клетки доски, кроме центральной, они тоже будут "одновременно освобождающиеся"

[zhekas]

Lunatik в сообщении #461044 писал(а):

Блин, дык что мне мешает поставить пешки на все клетки доски, кроме центральной, они тоже будут "одновременно освобождающиеся"

вы уже придумали для них траекторию, чтобы, "никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку и ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода"?

[worm2]

Нумеруем клетки доски:

121212...
434343...
121212...
434343...
.........

Видим, что при допустимой игре через 2 хода шашки, стоящие на единичках, перескочат на тройки, 2 - 4, 3 - 1, 4 - 2.
Следовательно, число изначально занятых троек должно быть не меньше числа изначально занятых единиц, двоек - ——"—— четвёрок. Всего на доске 81 двоек и 81 троек, значит, единиц и четвёрок не более, чем по 81, а всего — не больше 324.
324 уже показали, что можно.

[Lunatik]

Или я опять чего-то не понимаю...

[Sender]

Lunatik в сообщении #461058 писал(а):

Или я опять чего-то не понимаю...

Так можно вообще все клетки заполнить. Чётным ходом циклически двигать все шашки по вертикали, а нечётным - по горизонтали.

Хотя нет, нарушится условие перемещения на соседние клетки.

[Lunatik]

Ну смотрите:

Xenia1996 в сообщении #460887 писал(а):

Ход заключается в том, чтобы одновременно передвинуть все шашки на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки так, чтобы никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку. Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

Будем их двигать "по кругу". Все шашки на соседние передвинуты (угловые - по вертикали, неугловые - по горизонатли), никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку, ни одна из шашек не передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода... Что не так?

-- Ср июн 22, 2011 13:45:44 --

Кстати да, если в одном - то 324 (при условии, если на одновременно освобождающиеся можно)

[zhekas]

Lunatik в сообщении #461074 писал(а):

Ну смотрите:

Xenia1996 в сообщении #460887 писал(а):

Ход заключается в том, чтобы одновременно передвинуть все шашки на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки так, чтобы никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку. Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

Будем их двигать "по кругу". Все шашки на соседние передвинуты (угловые - по вертикали, неугловые - по горизонатли), никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку, ни одна из шашек не передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода... Что не так?

я правильно понимаю, что верхние клетки будут двигаться по верхней стороне, пока не достигнут угла. Если так, тогда крайняя верхняя левая клетка будет двигаться целых 18 ходов по одной горизонтальной линии.

[Sender]

Lunatik в сообщении #461074 писал(а):

Будем их двигать "по кругу". Все шашки на соседние передвинуты (угловые - по вертикали, неугловые - по горизонатли), никакие две шашки не были передвинуты в одну клетку, ни одна из шашек не передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода... Что не так?

Это только один ход. Если второй последовательный ход будет таким же, нарушение условия очевидно.

[Lunatik]

Т. е. условие:

Xenia1996 в сообщении #460887 писал(а):

Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

говорит о том, что нельзя более одного раза двигаться по горизонтали и по вертикали подряд, это вы мне хотите сказать?

[zhekas]

Lunatik в сообщении #461082 писал(а):

Т. е. условие:

Xenia1996 в сообщении #460887 писал(а):

Ни одна из шашек не может быть передвинута по одной и той же линии за два последовательных хода.

говорит о том, что нельзя более одного раза двигаться по горизонтали и по вертикали подряд, это вы мне хотите сказать?

да