Сравнеия по модулю

[Sverest]

Показать, что $1^{16} +36 +7^{16}+9^{16} \equiv 4 (\mod 10)$

$1^{16} +33 +7^{16}+9^{16} \equiv 1 (\mod 10)$

как избавиться от $10$, если число будет простое, можно будет воспользоваться малой теоремой Ферма

[caxap]

Не надо от неё избавляться. Начнём с простого. С чем сравнимо $1^{16}$ по модулю 10?

[Sverest]

caxap в сообщении #460313 писал(а):

Не надо от неё избавляться. Начнём с простого. С чем сравнимо $1^{16}$ по модулю 10?

c 1

[caxap]

А 36?

[Sverest]

c 66

-- Пн июн 20, 2011 19:52:26 --

любым числом оканчивающимся на 6

[caxap]

Sverest в сообщении #460320 писал(а):

любым числом оканчивающимся на 6

Верно, конечно. Но мы же нормальные люди, зачем нам 66, 3643642746 и т. д. Так? Не проще ли взять 6?

Так. А с чем сравнимо $7^{16}$ ? Подсказка: $7^{16}=49^8$.

[Sverest]

с 9

[Andrey173]

Sverest
Вы бы хоть на калькуляторе проверяли)
Кстати, а если бы основание было простое, как бы Вы использовали малую теорему Ферма?

[caxap]

Sverest
Нет. Про восьмую степень забыли?

[Sverest]

с 1

-- Пн июн 20, 2011 20:06:24 --

33232930569601

[caxap]

Ну вы даёте! Andrey173 советовал проверять на калькуляторе, а не считать. Уберите калькулятор. У вас нет калькулятора, вы на необитаемом острове. Определите: с чем сравнимо $49^8$ ? Вы уже знаете ответ, но попробуйте его найти сами.

Потом проделайте то же самое с $9^{16}$.

[Sverest]

при помощи какой теоремы определить?

[caxap]

Никакой. Заменяйте числа остатками и всё. Зачем я подсказку давал?

[Sverest]

НОД$(49;10)=1 $
НОД$(9,10)=1$

[caxap]

Причём тут НОД?

Прочитайте "Алгебра и теория чисел" МГЗПИ или любую другую книжку по теме.