2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересное решето
Сообщение17.12.2006, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Выпишем последовательные числа натурального ряда. Потом сотрем все числа. стоящие на четных местах. В оставшемся ряду сотрем все числа. стоящие на местах, номера которых кратны 3, в оставшемся --- числа, номера которых кратны 4, и т.д. В итоге образуется последовательность, начинающаяся числами 1, 3, 7, 13, 19, ... Обозначим ее через ${a_n}$. Докажите, что $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{n^2}=\frac{\pi}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2006, 14:39 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Рассмотрим интервал до a(n) и обозначим число элементов в этом интервале b(k) на k - ом шаге. В первом шаге b(1)=a(n), на втором шаге b(2)=b(1)-[b(1)/2], вообще b(k)=b(k-1)-[b(k-1)/k]. Т.е. n=b(k),k>=n. Так как b(k-1)(k-1)/k+1>b(k)>=(k-1)b(k-1)/k, то n=b(n)>=a(n)/n. Что дает n^2/2<a(n)<=n^2. То, что получается такой чудесный коэффициент, по видимому связано с равномерным распределением остатков.
Да только, указанный предел, скорее всего не существует (думаю это несложно доказать). Речь идёт скорее о пределе $ R(n)=a(n)-\frac{\pi n^2}{4}, \ \lim_{n\to \infty }\frac{R(n)}{n^2}=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.12.2006, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Да, Вы правы, сейчас поправлю.
Но, по-моему, в этой задаче интересен именно этот "чудесный коэффициент"...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 03:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Это решето носит имя Иосифа Флавия: A000960

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 07:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Скоро раздел превратится в "запости задачку, на которую maxal не сможет привести ссылку". :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Мда... Ну ничего, у меня есть еще задачи, которых, надеюсь, в Сети нет. А вообще-то мне это решето известно под названием "Решето Фабиуса", и, если кому интересно, про него можно прочитать еще и здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.12.2006, 23:28 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Lion писал(а):
А вообще-то мне это решето известно под названием "Решето Фабиуса"

"Фабиус" очень похоже Flavius, возможно, просто неправильное прочтение фамилии Флавия.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group