2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Есть интеграл
$\int\limits_{\theta_-}^{\theta_+}\sqrt{A+B\cos^2{\theta}-C\left(\frac{1+\cos^2{\theta}}{2\sin{\theta}}\right)^2}d\theta$
где $\theta_\pm$- нули подинтегрального выражения. Все константы хорошие, т.е. выражение под корнем положительно между $\theta_-$ и $\theta_+$.
Пробовал подстановки $x=\cos{\theta}$, $x=\cos^2{\theta}$ и $x=\tg{\theta}$. Все переводят в такой же бессмысленный вид. Математика выдает выражения содержащие Root от полиномов 4-й и 6-й степени.
Хотелось бы если не посчитать, то привести этот итеграл хотя бы к какому-то разумному виду. Например, к эллиптическому интегралу определенного рода.

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 13:52 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12064
а если так?

$A+B\cos^2{\theta}-C\left(\dfrac{1+\cos^2{\theta}}{2\sin{\theta}}\right)^2=A+B(1-\sin^2\theta)-C\left(\dfrac{1+1-\sin^2\theta}{2\sin\theta}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-C\left(\dfrac{2-\sin^2\theta}{2\sin\theta}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-C\left(\dfrac{1}{\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{2}\right)^2=A+B-B\sin^2\theta-\dfrac{C}{\sin^2\theta}-\dfrac{\sin^2\theta}{4}+1$

а дальше делать замену $x=\sin^2\theta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Это ж почти замена $x=\cos^2{\theta}$. Она приведет к интегралу вида
$\int\sqrt{\frac{a}{x(1-x)}+\frac{b}{1-x}+\frac{c}{x^2(1-x)}}dx$
А с ним что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Подстановка $x=\cos{\theta}$ переводит интеграл в следующий вид:
$\int\limits_a^b\frac{\sqrt{(x^2-a^2)(b^2-x^2)}}{1-x^2}dx,\quad |a|,|b|<1,b>a$
Он просто не может не браться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 17:13 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
У меня Maple выдал комбинацию эллиптических интегралов :-(, хотя безо всяких корней полинома, но он у меня древний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Sonic86,
У меня был случай, когда нужный мне интеграл выражался через арктангенсы и арксинусы, а Математика представляла ответ в функциях, о которых я даже не слышал. Так что, есть еще маленькая надежда. :))

P.S.
Математика 8.01 этот интеграл вообще не считает. Даже с конкретными $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 17:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Bulinator в сообщении #458363 писал(а):
Подстановка $x=\cos{\theta}$ переводит интеграл в следующий вид:
$\int\limits_a^b\frac{\sqrt{(x^2-a^2)(b^2-x^2)}}{1-x^2}dx,\quad |a|,|b|<1,b>a$
Он просто не может не браться.

Загляните в какой-нибудь справочник по интегралам. Там много всякого добра, возможно и этот есть. Маловероятно, что можно обойтись без эллиптических интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
У меня только Градштейн, Рыжик. Там не нашел, но после 6-го просмотра у меня все еще осталось чувство, что может быть я его не заметил :)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 17:59 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Брычков, Прудников, ... "Интегралы и ряды". Очень толстый. А не заметить, проскочить вполне возможно. Maple выдаёт не слишком громоздкие комбинации эллиптических интегралов, упрощаемы ли они --- вопрос тонкий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение15.06.2011, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Нету там :(((

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение16.06.2011, 19:14 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Если $0<a<b<\sqrt{2}a$, то
$\int\limits_a^b\dfrac{\sqrt{(b^2-x^2)(x^2-a^2)}}{1-x^2}dx=\int\limits_{a^2}^{b^2}\dfrac{\sqrt{(b^2-t)(t-a^2)}}{2(1-t)\sqrt{t}}dt=\int\limits_0^{b^2-a^2}\dfrac{\sqrt{s(b^2-a^2-s)}ds}{2(1-a^2-s)\sqrt{a^2+s}}=\dfrac{\pi (b^2-a^2)^2}{16a(1-a^2)}F_1\left(\dfrac32,1,\dfrac12,3;\dfrac{b^2-a^2}{1-a^2},1-\dfrac{b^2}{a^2}\right)$ (Прудников, Брычков, Маричев, 1981, стр. 306, формула 2.2.8.5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение16.06.2011, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Одно время я коллекционировал эвфемизмы для "пошёл к чёрту". Жемчужинами коллекции стали два выражения:
программерское - "мы кладём на это низкий приоритет"
и
математическое - "это выражается через обобщённую гипергеометрическую функцию".

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение16.06.2011, 20:25 
Заслуженный участник


26/12/08
678
:-)
ИСН, я не это имел в виду - просто решил вступиться за честь ПБМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите взять интеграл II
Сообщение16.06.2011, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Полосин,
Я Вас люблю!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group