2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение13.06.2011, 16:28 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение13.06.2011, 17:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ксения, с Вашего разрешения, поскольку подвох действительно небольшой, позволю себе привести подобный же пример из ЕГЭ-задачника, который (пример) меня в своё время немного удивил.
Найти наименьшее $k$, при котором система уравнений
$$
 \left\{
 \begin{array}{l}
 \cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}+1/8=0,\\
 |x|+|y|+|y-kx-\pi|=x(1+k)+\pi
 \end{array}
 \right.
$$
имеет решение.

Тоже, конечно, не шедевр, но на фоне задач из других вариантов (которые были почему-то значительно проще) это смотрелось. И ответ к нему в задачнике был неправильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение13.06.2011, 20:58 


15/03/11
137
Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):
$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.


$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение13.06.2011, 22:56 


13/11/09
166
nnosipov в сообщении #457584 писал(а):
Ксения, с Вашего разрешения, поскольку подвох действительно небольшой, позволю себе привести подобный же пример из ЕГЭ-задачника, который (пример) меня в своё время немного удивил.
Найти наименьшее $k$, при котором система уравнений
$$
 \left\{
 \begin{array}{l}
 \cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}+1/8=0,\\
 |x|+|y|+|y-kx-\pi|=x(1+k)+\pi
 \end{array}
 \right.
$$
имеет решение.

Тоже, конечно, не шедевр, но на фоне задач из других вариантов (которые были почему-то значительно проще) это смотрелось. И ответ к нему в задачнике был неправильный.


Первое уравнение - действительно хорошее упражнение на дискриминант, а второе - на свойство модуля. А откуда именно задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение13.06.2011, 23:11 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
zhekas в сообщении #457681 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):
$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.


$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

Ваше решение не совсем полное.
Подумайте ещё.
Относительно $x$ всё верно, но вот относительно $y$ есть ещё одно семейство решений.

Вернее, так: семейство $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$ подходит только для $x=1$, а для $x=-1$ есть иное семейство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 04:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

mitia87 в сообщении #457730 писал(а):
Первое уравнение - действительно хорошее упражнение на дискриминант, а второе - на свойство модуля. А откуда именно задача?

Корешкова Т.А. и др. ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания. М.: Экзамен, 2007. Совершенно обычная книжка этого типа, коих сейчас наплодили великое множество. В ответе к этой задаче стоит $k=-1$, что неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 07:30 


15/03/11
137
Xenia1996 в сообщении #457734 писал(а):
zhekas в сообщении #457681 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #457533 писал(а):
$x^2+2x\sin{xy}+1=0$
Решить в вещественных числах.


$x=\pm1$, $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$, где $n$ - целое

Ваше решение не совсем полное.
Подумайте ещё.
Относительно $x$ всё верно, но вот относительно $y$ есть ещё одно семейство решений.

Вернее, так: семейство $y=-\frac{\pi}2+2\pi n$ подходит только для $x=1$, а для $x=-1$ есть иное семейство.


Если $x=1$ то получается уравнение
$$1+2\sin y +1 =0$$
$$2+2\sin y=0$$
$$\sin y =-1$$

Если $x=-1$ то получается уравнение
$$1-2\sin {(-y)} +1 =0$$
минус выносим за знак синуса
$$2+2\sin y=0$$
$$\sin y =-1$$

Так что у $x=\pm1$ одно семейство $y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 09:47 


30/11/10
227
$\displaystyle{x^2+2x\sin\left(xy\right)+1 = 0}$

$x^2+2x\sin\left(xy\right)+\sin^2\left(xy\right)+\cos^2\left(xy\right) = 0$

$\left(x+\sin\left(xy\right)\right)^2+\left(\cos\left(xy\right)\right)^2 = 0$

Which is possible only when $x+\sin\left(xy\right) = 0$

and $\cos\left(xy\right) = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 10:31 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
zhekas в сообщении #457803 писал(а):
Если $x=1$ то получается уравнение
$$1+2\sin y +1 =0$$
$$2+2\sin y=0$$
$$\sin y =-1$$

Если $x=-1$ то получается уравнение
$$1-2\sin {(-y)} +1 =0$$
минус выносим за знак синуса
$$2+2\sin y=0$$
$$\sin y =-1$$

Так что у $x=\pm1$ одно семейство $y$

Это я минус и плюс перепутала.
Если $x=1$, получаем уравнение $1+2\sin{y}+1=0$
Переносим единички вправо: $2\sin{y}=-2$
Делим на 2: $\sin{y}=-1$
Решением будет $x=1, y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$
Разве не так?

А вот при $x=-1$ Вы, конечно, правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 10:39 


13/11/09
166
nnosipov в сообщении #457786 писал(а):
В ответе к этой задаче стоит $k=-1$, что неверно.

А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось

(Оффтоп)

$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 10:41 


15/03/11
137
Xenia1996 в сообщении #457839 писал(а):
Это я минус и плюс перепутала.
Если $x=1$, получаем уравнение $1+2\sin{y}+1=0$
Переносим единички вправо: $2\sin{y}=-2$
Делим на 2: $\sin{y}=-1$
Решением будет $x=1, y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$
Разве не так?

А вот при $x=-1$ Вы, конечно, правы.

А разве $y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$ чем-то отличается от $x=1, y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 11:11 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
zhekas в сообщении #457842 писал(а):
А разве $y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$ чем-то отличается от $x=1, y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$

Меня этот минус просто с толку сбил немного.

Если $x=1$, то $\sin{y}=-1$
Если $x=-1$, то $\sin{(-y)}=1$
А поскольку синус - нечётная функция, Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 14:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mitia87 в сообщении #457841 писал(а):
А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось
$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

Первое уравнение можно переписать в виде $(\cos{2x}+\cos{2y}+1)^2+(\sin{2x}-\sin{2y})^2=0$. А Ваш ответ совпадает с моим, надеюсь, мы оба не ошиблись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 16:03 


13/11/09
166
nnosipov в сообщении #457908 писал(а):
mitia87 в сообщении #457841 писал(а):
А есть ли способ не перебирать четыре варианта из первого уравнения? если не ошибся, то получилось
$k=-2 \text{ при } x = y = \frac{\pi}{3}$.

Первое уравнение можно переписать в виде $(\cos{2x}+\cos{2y}+1)^2+(\sin{2x}-\sin{2y})^2=0$. А Ваш ответ совпадает с моим, надеюсь, мы оба не ошиблись.

вроде это не лучше варианта $\frac{1}{2} \left ( cos(x + y) + \frac{1}{2} cos(x -y) \right )^2 + \frac{1}{8}\sin^2(x - y) = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несложный тригур с маленьким подвохом
Сообщение14.06.2011, 17:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
mitia87 в сообщении #457939 писал(а):
вроде это не лучше варианта $\frac{1}{2} \left ( cos(x + y) + \frac{1}{2} cos(x -y) \right )^2 + \frac{1}{8}\sin^2(x - y) = 0.$

Да, примерно одно и то же. Но прийти к этим тождествам --- это некая работёнка. Я вот комплексные числа использовал --- с алгебраическими многочленами проще работать, чем с тригонометрическими. Для ЕГЭ такие задачи, наверное, сложноваты.

Ксения, Вы не против, что мы здесь это обсуждаем? По-моему, очень схожие вещи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group