2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратичные формы (положительная определенность)
Сообщение18.12.2006, 19:02 


18/12/06
6
Москва
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать.
Следующая задача:
Доказать, что квадратичная форма f тогда и только тогда является положительно определенной, когда ее матрица представляется в виде A=C'C, где С-невырожденная вещественная матрица и C' - матрица, транспонированная к С.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Достаточность очевидна.
Для док-ва необходимости достаточно перейти к базису, в котором матрица A диагональна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 22:14 


18/12/06
6
Москва
Спасибо большое!!!
Дальше надо представить матрицу А1(в каноническом базисе) в виде произведения двух диагональных матриц и воспользоваться ортогональностью матрицы перехода к каноническому базису. Я ничего не наврал?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Матрицу перехода необязательно выбирать ортогональной. Достаточно воспользоваться тем, как меняется матрица квадратичной формы при переходе к новому базису.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:25 


18/12/06
6
Москва
А как же мы без ортогональности матрицы перехода к каноническому базису получим разложение матрицы А С и C'? Ведь A=T*C1*C1*T^(-1), где С1*С1=А1. И T*C1 положим равным C(о котором говорится в условии), а C1*T^(-1) - C'. Т.о., если не предполагать, что Т^(-1)=T', то (T*C1)' вовсе не будет равняться С1*T^(-1). Или я что-то опять путаю? Подскажите, пожалуйста...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Матрица квадратичной формы меняется по закону
$$A\mapsto C^TAC$$
C -матрица перехода.
Не надо путать операторы и квадратичные формы. :!:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.12.2006, 23:59 


18/12/06
6
Москва
Спасибо большое!!! Теперь понял!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group