2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство и сумма
Сообщение10.06.2011, 13:32 


19/01/11
718
Пусть $ x_1,x_2,x_3,x_4$ вещественные положительные числа и $x_1x_2x_3x_4=1$.
Доказать что ,
$\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \max{(\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i},\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}})}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.06.2011, 14:01 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
myra_panama в сообщении #456476 писал(а):
Пусть $ x_1,x_2,x_3,x_4$ вещественные положительные числа и $x_1x_2x_3x_4=1$.
Доказать что ,
$\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \max{(\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i},\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}})}$

То есть, надо доказать два неравенства: $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}$ и $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}}$,
каждое из которых следует из AM-GM.
Пусть $x_1=a^2$, $x_2=b^2$, $x_3=c^2$ и $x_4=d^2$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ положительны.
Докажем, что $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$, из чего будет следовать первое неравенство.
Попытаемся найти неотрицательные числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ такие, что $\alpha+\beta+\gamma+\delta=1$, для которых
$\alpha a^6+\beta b^6+\gamma c^6+\delta d^6\geq a^3bcd$.
Согласно AM-GM $\alpha a^6+\beta b^6+\gamma c^6+\delta d^6\geq a^{6\alpha}b^{6\beta}c^{6\gamma}d^{6\delta}$.
Из равенства $a^{6\alpha}b^{6\beta}c^{6\gamma}d^{6\delta}=a^3bcd$ получаем $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=\frac{1}{6}$, $\gamma=\frac{1}{6}$ и $\delta=\frac{1}{6}$.
Подставляя полученные зиачения $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ в неравенство двумя строчками выше, получаем:
$3a^6+b^6+c^6+d^6\geq6a^3bcd$
Таким образом, $\sum\limits_{cyc}(3a^6+b^6+c^6+d^6)\geq6\sum\limits_{cyc}a^3bcd$, что даёт $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$, а значит и $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}$.
(Понятно, что неравенство $3a^6+b^6+c^6+d^6\geq6a^3bcd$ видно непосредственно, но метод, которым оно получено довольно полезный.
К примеру, в неравенстве $a^4b+b^4c+c^4a\geq(a^2+b^2+c^2)abc$ для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ догадаться до соответствующих коэффициентов уже не так просто. Кстати, это последнее неравенство можно докзать и многими другими способами также как и $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$).
Для доказательства второго неравенства снова применяем AM-GM:
$3\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3=\sum\limits_{i=1}^{4}\left(x_{i}^3+x_{i+1}^3+x_{i+2}^3\right)\geq3\sum\limits_{i=1}^{4}x_ix_{i+1}x_{i+2}=3\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}}$.
Здесь, как обычно: $x_5=x_1$ и $x_6=x_2$.
То есть, неравенство доказано.
Вообще, можно было бы остановиться и на следующем заклинании: Мюрхед.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group