Несложное неравенство)))...

[Lunatik]

Для $x, y, z \in [0,1]$ показать, что $\frac{x}{7+y^3+z^3}+\frac{y}{7+x^3+z^3}+\frac{z}{7+x^3+y^3} \le \frac{1}{3}$

-- Ср июн 08, 2011 16:33:38 --

Я решал функционально, но получилось не очень красиво, может вы найдёте решение красивее

[MrDindows]

Функционально?
Зафиксируем $y, z$. Найдём производную по $x$. Покажем что для даного ограничения на $x, \ y, \ z$ она всегда положительная, значит данное выражение имеет свой максимум при $x=y=z=1$ и собственно равно $ \frac{1}{3}$.

Вроде бы как нету ничего некрасивого)

[Lunatik]

MrDindows в сообщении #455743 писал(а):

Функционально?
Зафиксируем $y, z$. Найдём производную по $x$. Покажем что для даного ограничения на $x, \ y, \ z$ она всегда положительная, значит данное выражение имеет свой максимум при $x=y=z=1$ и собственно равно $ \frac{1}{3}$.

Вроде бы как нету ничего некрасивого)

Хм... А какая у вас производная?

[Sergic Primazon]

Lunatik в сообщении #455714 писал(а):

Для $x, y, z \in [0,1]$ показать, что $\frac{x}{7+y^3+z^3}+\frac{y}{7+x^3+z^3}+\frac{z}{7+x^3+y^3} \le \frac{1}{3}$

-- Ср июн 08, 2011 16:33:38 --

Я решал функционально, но получилось не очень красиво, может вы найдёте решение красивее

$LHS \le \frac{x+y+z}{6+x^3+y^3+z^3}\le \frac{x+y+z}{6+\frac{(x+y+z)^3}{9}} \le \frac{3}{6+\frac{3^3}{9}}$

[Equinoxe]

Sergic Primazon в сообщении #455762 писал(а):

$\frac{x+y+z}{6+\frac{(x+y+z)^3}{9}} \le \frac{3}{6+\frac{3^3}{9}}$

Разве это правда? Вы ведь увеличили знаменатель…
(тут дело в том, что эта ф-ция ($\frac x {6+\frac {x^3} 9}$) не монотонна, но её максимум как раз в точке 3. И это, видимо, означает, что Ваше док-во всё же можно назвать в чем-то функциональным. И тогда оно становится не самым простым :()

[Sergic Primazon]

Equinoxe в сообщении #455876 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #455762 писал(а):

$\frac{x+y+z}{6+\frac{(x+y+z)^3}{9}} \le \frac{3}{6+\frac{3^3}{9}}$

Разве это правда? Вы ведь увеличили знаменатель…
(тут дело в том, что эта ф-ция ($\frac x {6+\frac {x^3} 9}$) не монотонна, но её максимум как раз в точке 3. И это, видимо, означает, что Ваше док-во всё же можно назвать в чем-то функциональным. И тогда оно становится не самым простым :()

$0 \le x+y+z=t \le 3$

$\frac{x+y+z}{6+\frac{(x+y+z)^3}{9}} \le \frac{1}{3}=\frac{3}{6+\frac{3^3}{9}}\Leftrightarrow (t-3)^2(t+6) \ge 0$

[Equinoxe]

Sergic Primazon, вот, теперь уже классно

[Lunatik]

Я также решал через производную, она получилась страшненькая, и только через нудные вычисления я всё-таки пришёл к нужному выводу. Поэтому я и спросил: можно ли это было сделать как-то проще.
У Sergic Primazon мне понравилось решение, кроме перехода ко второй оценке (я принял это на веру, потом проверю)))... Надо что-то ещё откопать)))

[Lunatik]

Отоспавшись и отдохнув, я перечитал доказательства, они правильные (конечно я проверил переход от второй оценки к третьей, там Йенсен в чистом виде, но откровенно не понял, почему максимум предпоследнего сравнения равен трём (хоть это так и есть)). Ну да ладно, теперь один вопросик и пару задачек

Вопросик: Дал мне друг простейшую задачу: "Докажите, что если $a^2+b^2+ab+bc+ac<0$, то $a^2+b^2<c^2$ ". Я смекнул: умножу обе части на 2, прибавлю $c^2$, и сверну квадрат суммы. Получил я $a^2+b^2+(a+b+c)^2<c^2$, т. е. даже усиленное получилось. И тут, как снег на голову, этот же друг утверждает, что моё доказательство неверно, а в чём - не говорит. Прошу разъяснить


Пару задачек: одна задача на неравенство и пару задач с Белорусской мат. олимпиады 2011 (пока 10 класс). Все задачи из этой олимпиады я помечу звёздочкой. Хотелось бы просто узнать, сложнее ли Всероссийские, чем наши (да что я себя обманываю, наши всё равно сложнее Всеросса будут((( )

1) Между положительными числами $a$ и $b$ вставить числа $x, y, z (a<x<y<z<b)$, чтобы выражение $\frac{xyz}{(a+x)(x+y)(y+z)(z+b)}$ приняло наибольшее значение.

2) * 10.6 В клетках таблицы $3n \times 3n$ стоят знаки "$+$" и "$-$" (ровно один знак в каждой клетке). За один ход разрешается поменять на противоположные все знаки, стоящие в клетках некоторого столбца или некоторой строки. В начале, в таблице стоит один знак "$-$", а в остальных клетках - "$+$". За несколько ходов получена таблица, состоящая из 36 знаков "$-$", а у остальных - знаки "$+$".
Найти все возможные значения, которые может принимать число n.

3) * 10.8 На параболе $y=x^2$ отмечены четыре точки $A, B, C, D$ так, что четырёхугольник $ABCD$ - трапеция ($AD \parallel BC, AD>BC$). Пусть $m$ и $n$ - расстояния от точки пересечения диагоналей этой трапеции до середин её оснований $AD$ и $BC$ соответственно.
Найдите $S_{ABCD}$

[arqady]

Lunatik в сообщении #455997 писал(а):

Вопросик: Дал мне друг простейшую задачу: "Докажите, что если $a^2+b^2+ab+bc+ac<0$, то $a^2+b^2<c^2$ ". Я смекнул: умножу обе части на 2, прибавлю $c^2$, и сверну квадрат суммы. Получил я $a^2+b^2+(a+b+c)^2<c^2$, т. е. даже усиленное получилось. И тут, как снег на голову, этот же друг утверждает, что моё доказательство неверно, а в чём - не говорит. Прошу разъяснить

Всё правильно! Мало ли по каким соображениям друзья так поступают с друзьями?

[Lunatik]

arqady в сообщении #456038 писал(а):

Всё правильно! Мало ли по каким соображениям друзья так поступают с друзьями?

Спасибо, успокоили
Значит доказательство верное - уже хорошо. Вопрос исчерпан (или всё-таки если найдёте ошибку, мы вопрос возобновим ). Осталось решить три задачки.

[Equinoxe]

Lunatik, вторая точно элементарная — см. чётность кол-ва плюсиков и минусиков, задачка неразрешима для n=2, а значит и для других n

[Lunatik]

У этой задачки точно есть решение/решения.

[Equinoxe]

Lunatik, да, я уже вижу — не заметила, что 36 должно быть в сумме, т.е. не обязательно квадратиком

[dslib]

Запутанная задачка...