сходимость ряда

[Albina]

Нужно исследовать сходимость ряда
$\sum\frac{(-1)^n n^2}{n^3+2}$

моё решение:
Ряд знакочередующийся.
Применим признак Лейбница:
1. $\frac{1}{3}<\frac{2}{5}>\frac{9}{29}>\frac{16}{66}>...$
данное условие не выполняется
2. $\lim\frac{n^2}{n^3+2}=\lim\frac{1}{n}=0$ условие не выполняется

Ответ: ряд расходится, т.к. 1е условие не выполняется


Скажите, пожалуйста, правильно ли я решила?

[ShMaxG]

1. Главное, чтобы начиная хоть с какого-нибудь номера имела место монотонность.
2. Какое условие и почему не выполняется?

-- Пн июн 06, 2011 22:28:02 --

Более того, даже если какие-то условия не выполняются в этом признаке Лейбница, то это не значит, что ряд расходится. Просто признак Лейбница не применим, но не более того.

[Albina]

а по какому признаку ещё можно определить сходимость этого ряда?

[tavrik]

Лейбниц это, вроде как, частный случай Дирихле.
Хотя, почему не выполняется Лейбниц?

[ИСН]

Albina, сходимость в каком-то смысле определяют вообще не по признакам. Сходимость шире признаков. Они соотносятся примерно как убийство и свидетели. Бывает и так, что свидетелей нет, а убийство было: налицо труп.
Насчёт же Лейбница рекомендую подумать про известный ряд:

$$1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+\dots$$

Подумали? А теперь сразу, не запивая, вот такой:

$$0+0+1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+\dots$$

[Albina]

значит, ряд сходится. Спасибо.

для того чтобы узнать сходится он условно или абсолютно нужно рассмотреть ряд из модулей.
$\sum\frac{ n^2}{n^3+2}$

если использовать признак сравнения, то получается данный ряд нужно сравнивать с гармоническим рядом $\sum\frac{ 1}{n}$ или с обощенно-гармоническим?