2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симметрические многочлены от синусов и косинусов
Сообщение14.12.2006, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Докажите, что $f(\sin\varphi, \ldots, \sin n\varphi)=f(\cos\varphi, \ldots, \cos n\varphi)$, где $f(x_1,\ldots, x_n)$ --- элементарный симметрический многочлен порядка не больше $n-1$, $\varphi=\frac{2\pi}{n}$ и $n\ge3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2006, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Хмм :(
$$n=1,f(x)=x\Rightarrow f(\sin\varphi)=0\ne f(\cos\varphi)$$
Я что-то пропустил :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2006, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Мда... это просто не день Бекхема . :(
Сейчас поправлю условие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2006, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Только порядка не выше $n-1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.12.2006, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Большое спасибо, сейчас еще раз поправлю (надеюсь, в последний раз :wink: ).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 00:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Достаточно показать, что $\sin j\varphi,\ j=1,\dots,n$ и $\cos j\varphi,\ j=1,\dots,n$ являются корнями многочленов степени $n,$ у которых совпадают все коэффициенты за исключением свободных членов.
Эти многочлены можно явно получить из формулы
$$(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n = \cos n\varphi + i\sin n\varphi.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Другими словами, надо доказать, что многочлен
$$f(x)=\prod_{k=1}^n(x-\cos k\varphi)-\prod_{k=1}^n(x-\sin k\varphi)$$
есть константа.
Если $n\equiv0\pmod4$, то косинусы - просто перестановка синусов, т.е. $f(x)=0$.
Иначе среди чисел $\cos\varphi,\cos2\varphi,\ldots,\cos n\varphi,\sin\varphi,\ldots,\sin n\varphi$ как минимум $n$ штук различных, поэтому достаточно проверить, что
$$f(\cos\varphi)=\ldots=f(\cos n\varphi)=f(\sin\varphi)=\ldots=f(\sin n\varphi)$$
$$f(\cos m\varphi)=-\prod_{k=1}^n(\cos m\varphi-\sin k\varphi)=-2^n\prod_{k=1}^n\sin(\frac{\pi}4-\frac{k+m}2\varphi)\,\cdot\prod_{k=1}^n\cos(\frac{\pi}4+\frac{k-m}2\varphi)$$
$$f(\sin m\varphi)=\prod_{k=1}^n(\sin m\varphi-\cos k\varphi)=2^n\prod_{k=1}^n\sin(\frac{k+m}2\varphi-\frac{\pi}4)\,\cdot\prod_{k=1}^n\cos(\frac{\pi}4+\frac{m-k}2\varphi)$$
При изменении $m$ на $1$ произведения справа просто меняют знак, поэтому
$$f(\cos\varphi)=\ldots=f(\cos n\varphi)$$
$$f(\sin\varphi)=\ldots=f(\sin n\varphi)$$
Кроме того, несложно понять, что $f(\cos\varphi)=f(\sin\varphi)$ ($2$ первых произведения отличаются в $(-1)^n$ раз, а вторые - в $(-1)^{n-1}$)
Может, есть способ попрощее :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 01:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Ага, только нужно "как минимум $n+1$ штук различных".

Еще один способ: вместо элементарных симметрических доказывать равенство элементарных степенных полиномов от синусов и косинусов, используя многочлены Чебышева.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 05:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
maxal писал(а):
Ага, только нужно "как минимум $n+1$ штук различных".

Так ведь степень многочлена не выше $n-1$ (и даже понятно, что не выше $n-2$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.12.2006, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Вообще, можно доказать даже больше: если $\alpha$ --- произвольный угол, то $f(\cos\varphi,\ldots,\cos n\varphi)=f(\cos(\varphi-\alpha),\ldots,\cos (n\varphi-\alpha))$. Отсюда при $\alpha=\pi/2$ получаем утверждение исходной задачи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group